Integrale per successione
Dimostrare che la successione
\(x_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln(n)\)
Converge e dedurre che la serie armonica diverge.
Nelle soluzioni c'è un passaggio che proprio non capisco,
Consideriamo la successione
\[ y_n= \int_{1}^{n} \frac{1}{\left \lfloor x+1 \right \rfloor} - \frac{1}{x} dx \]
\[y_n = \sum\limits_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \frac{1}{\left \lfloor x+1 \right \rfloor} - \frac{1}{x} dx=\sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k+1}- \ln(n) =\sum\limits_{k=2}^{n} \frac{1}{k}- \ln(n)=x_n - 1 \]
Il passaggio che non capisco è la seconda uguaglianza.. come mai \[ \sum\limits_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \frac{1}{\left \lfloor x+1 \right \rfloor} - \frac{1}{x} dx=\sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k+1}- \ln(n) \] ??
Il logaritmo okay, spezza l'integrale e poi integra \( \frac{1}{x} \) ottenendo \( \ln(n)\) ma l'altra parte non la capisco.
C'è qualcuno che può aiutarmi a comprenderne il motivo? Grazie
\(x_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln(n)\)
Converge e dedurre che la serie armonica diverge.
Nelle soluzioni c'è un passaggio che proprio non capisco,
Consideriamo la successione
\[ y_n= \int_{1}^{n} \frac{1}{\left \lfloor x+1 \right \rfloor} - \frac{1}{x} dx \]
\[y_n = \sum\limits_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \frac{1}{\left \lfloor x+1 \right \rfloor} - \frac{1}{x} dx=\sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k+1}- \ln(n) =\sum\limits_{k=2}^{n} \frac{1}{k}- \ln(n)=x_n - 1 \]
Il passaggio che non capisco è la seconda uguaglianza.. come mai \[ \sum\limits_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \frac{1}{\left \lfloor x+1 \right \rfloor} - \frac{1}{x} dx=\sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k+1}- \ln(n) \] ??
Il logaritmo okay, spezza l'integrale e poi integra \( \frac{1}{x} \) ottenendo \( \ln(n)\) ma l'altra parte non la capisco.
C'è qualcuno che può aiutarmi a comprenderne il motivo? Grazie
Risposte
Quanto vale $\lfloor x+1 \rfloor$ per $x\in[k,k+1]$?
"otta96":
Quanto vale $\lfloor x+1 \rfloor$ per $x\in[k,k+1]$?
Con \( k \) intero (come l'indice della sommatoria) vale \( k+1 \) se \(x\in [k,k+1[\) e \(k+2\) se \(x=k+1\)
Quindi ognuno di quegli integrali quanto fanno?
"otta96":
Quindi ognuno di quegli integrali quanto fanno?
Se \( x \in [k,k+1[ \)
\[ \int_{k}^{k+1} \frac{1}{\left \lfloor x+1 \right \rfloor} - \frac{1}{x} dx = \frac{[x]_{k}^{k+1}}{k+1} -\int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} dx = \frac{1}{k+1} -\int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} dx\]
Ma se \( x = k+1 \)
\[ \int_{k}^{k+1} \frac{1}{\left \lfloor x+1 \right \rfloor} - \frac{1}{x} dx = \frac{1}{k+2} -\int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} dx \]
Il problema è che la funzione \( f: [k,k+1] \rightarrow \mathbb{R} \) definita da \( f(x) = \frac{1}{\left \lfloor x+1 \right \rfloor} \)
È discontinua sull'intervallo \( [k,k+1] \) posso integrarla?? Perché nelle soluzioni prende solo in considerazione \( x \in [k,k+1[ \) ??
Certo che puoi integrare una funzione discontinua, poi questa è costante a meno di un punto, che ha misura nulla, quindi l'integrale è $1/(k+1)$.
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