Integrale per sostituzione o per parti?

[mazzy89-votailprof]

Ho questo integrale da risolvere:

$\int sqrt(3x^2+1)dx$

lo risolvo per parti o eseguendo la seguente sostituzione: $sqrt(3x^2+1)=sqrt3(x+t)$

[jivi85]

credo sia possibile in entrambi i modi. prova a risolverlo in un modo, e se hai problemi, riscrivi

[Lord K]

Anche con la sostituzione:

$x=1/sqrt(3)sinh t$

[mazzy89-votailprof]

"jivi85":credo sia possibile in entrambi i modi. prova a risolverlo in un modo, e se hai problemi, riscrivi

ho provato a risolverlo per sostituzione ma viene un procedimento molto lungo. suggerite qualche altro modo?

[Lord K]

Osserva:

$int sqrt(3x^2+1) dx = [x=1/sqrt(3)sinht] = int sqrt(sinh^2t+1)*1/sqrt(3)cosht dt= 1/sqrt(3)*int cosh^2t dt = 1/sqrt(3)int ((e^t+e^(-t))/2)^2 dt =$
$=1/(4sqrt(3))*int e^(2t) dt + 1/(4sqrt(3))*int e^(-2t)dt +1/(4sqrt(3))*int 2dt = 1/(8sqrt(3))*e^(2t) -1/(8sqrt(3))*e^(-2t) + 1/(2sqrt(3))t = 1/(4sqrt(3))sinh(2t) + 1/(2sqrt(3))t$

torno indietro con la sostituzione ricordando che:

$sinh(2t)=2sinhtcosht$

ed anche:

$arcsinh(sqrt(3)x)=t$

da cui:

$int sqrt(3x^2+1) dx = 1/4*sqrt(1+3x^2) + 1/(2sqrt(3))*arcsinh(sqrt(3)x) = 1/4*sqrt(1+3x^2) + 1/(2sqrt(3))*ln(sqrt(3)x+sqrt(3x^2+1))$