Integrale per sostituzione e intervallo di definizione
Salve a tutti. Volevo chiedere un chiarimento riguardo alla soluzione di $ int_()^() sqrt(x^2+1)/x dx $ per sostituzione. Dunque, tale funzione è definita nell'insieme $ (-∞,0)uu (0,∞ ) $. Se ponessi $ t^2=x^2+1 $, la $ x $ la ricaverei dalla relazione inversa $ x=+- sqrt(t^2-1) $, e a quel punto dovrei operare una sostituzione a seconda dell'intervallo contenuto nel tratto del dominio che scelgo. Quello che non mi torna, è che $ sqrt(t^2-1) $ e $ -sqrt(t^2-1) $ sono rispettivamente definite nei tratti $ [1,∞) $ e $ (-∞ ,-1] $, e quindi agendo in questo modo, le primitive che ottengo per quali intervalli valgono?
Risposte
Ciao Daken97,
L'integrale proposto è del tipo $\int sqrt(x^2 + a^2)/x \text{d}x $ ove nel caso in esame $a = 1 $.
In realtà $x $ non ti serve perché scompare o meglio diventa un $x^2$: prova a porre $t := sqrt(x^2 + 1) $ e a differenziare e vedi cosa accade...
L'integrale proposto è del tipo $\int sqrt(x^2 + a^2)/x \text{d}x $ ove nel caso in esame $a = 1 $.
In realtà $x $ non ti serve perché scompare o meglio diventa un $x^2$: prova a porre $t := sqrt(x^2 + 1) $ e a differenziare e vedi cosa accade...
"pilloeffe":
Ciao Daken97,
L'integrale proposto è del tipo $\int sqrt(x^2 + a^2)/x \text{d}x $ ove nel caso in esame $a = 1 $.
In realtà $x $ non ti serve perché scompare o meglio diventa un $x^2$: prova a porre $t := sqrt(x^2 + 1) $ e a differenziare e vedi cosa accade...
Va benissimo. Però a me interessa sostanzialmente una risposta alla mia domanda, visto che è un problema che in altre situazioni, può presentarsi.
A parte che l'integrale non converge né in $(0,\infty)$ né in $(-\infty,0)$, gli intervalli $[1,\infty)$ e $(-\infty,-1]$ sono intervalli in cui varia $t$; come si collega questo al problema di non definire la primitiva in un sottointervallo in cui varia la $x$?
Forse ho capito male il dubbio.
Forse ho capito male il dubbio.
"Mephlip":
A parte che l'integrale non converge né in $(0,\infty)$ né in $(-\infty,0)$, gli intervalli $[1,\infty)$ e $(-\infty,-1]$ sono intervalli in cui varia $t$; come si collega questo al problema di non definire la primitiva in un sottointervallo in cui varia la $x$?
Forse ho capito male il dubbio.
A me non interessa sapere se alcuni integrali impropri convergono oppure no, ma semplicemente sapere in quali intervalli sono definite le primitive che ottengo effettuando (a turno) le sostituzioni sopracitate... nella fattispecie, $ x=sqrt(t^2-1 $ e $ x=-sqrt(t^2-1 $. Anche se, un dubbio me lo sono tolto: effettivamente, quelli sono valori per cui varia $ t $ e non $ x $, perciò parte del quesito è risolto.
È un problema che ti devi porre, visto che hai specificato degli intervalli in cui varia $x$; comunque secondo me trovi la tua risposta nelle ipotesi del teorema di integrazione per sostituzione, la trasformazione deve essere invertibile.
"Mephlip":
È un problema che ti devi porre, visto che hai specificato degli intervalli in cui varia $x$; comunque secondo me trovi la tua risposta nelle ipotesi del teorema di integrazione per sostituzione, la trasformazione deve essere invertibile.
Per renderla invertibile, dovrei definire $ t $ nell'intervallo $ (1,∞) $, e fare una cosa analoga quando effettuo la sostituzione per il valore opposto. Però la mia domanda è: agendo in questo modo, cosa posso dire riguardo alle primitive che ottengo?
Ma se la funzione è invertibile poi puoi tornare indietro nell'intervallo $(0,\infty)$ di $x$ senza perdita di informazioni per biunivocità, quindi credo che il problema non si ponga.
Anche perché sono funzioni invertibili negli intervalli di $t$ perché sono strettamente monotòne.
Magari aspetta un parere più esperto, a caldo mi è venuto da dirti questo; spero sia vero!
Anche perché sono funzioni invertibili negli intervalli di $t$ perché sono strettamente monotòne.
Magari aspetta un parere più esperto, a caldo mi è venuto da dirti questo; spero sia vero!
"Mephlip":
Ma se la funzione è invertibile poi puoi tornare indietro nell'intervallo $(0,\infty)$ di $x$ senza perdita di informazioni per biunivocità, quindi credo che il problema non si ponga.
Anche perché sono funzioni invertibili negli intervalli di $t$ perché sono strettamente monotòne.
Magari aspetta un parere più esperto, a caldo mi è venuto da dirti questo; spero sia vero!
Benissimo. Ma quindi, la primitiva che ottengo effettuando la sostituzione $ x=sqrt(t^2-1) $ , è definita nell'intervallo $ (0,+∞ ) $, mentre quella che ottengo con la sostituzione $ x=-sqrt(t^2-1) $ nell'intervallo $ (-∞,0) $ ? Questo è quello che mi interessava sapere.
Io la vedo così: supponiamo di volere la primitiva per $x\in(a,b) \subset (0,\infty)$ (per evitare divergenze), se integrassi senza sostituzione otterresti dunque una primitiva $F_1(x)$ definita in $(a,b)$.
Quando sostituisci, essendo nell'intervallo in cui $x$ è positiva prendiamo $x=\sqrt{t^2-1}$; dunque hai che la primitiva nella variabile $t$ sarà un'altra funzione $F_2 (t)$ definita per $t$ nell'intervallo $(\sqrt{a^2+1},\sqrt{b^2+1})$ (ho ottenuto l'intervallo sostituendo $a$ e $b$ ad $x$ nella sostituzione e isolando la $t$).
Essendo la trasformazione biunivoca queste sono equivalenti nel senso che puoi invertire la trasformazione
ottenendo l'una dall'altra nei corrispondenti intervalli, ossia ricavi $F_1$ da $F_2$ con la trasformazione inversa e ricavi l'intervallo di partenza mappando l'intervallo di arrivo in quello di partenza.
Come detto prima aspettiamo qualcuno di più esperto, mi sembra plausibile che sia così comunque.
Quando sostituisci, essendo nell'intervallo in cui $x$ è positiva prendiamo $x=\sqrt{t^2-1}$; dunque hai che la primitiva nella variabile $t$ sarà un'altra funzione $F_2 (t)$ definita per $t$ nell'intervallo $(\sqrt{a^2+1},\sqrt{b^2+1})$ (ho ottenuto l'intervallo sostituendo $a$ e $b$ ad $x$ nella sostituzione e isolando la $t$).
Essendo la trasformazione biunivoca queste sono equivalenti nel senso che puoi invertire la trasformazione
ottenendo l'una dall'altra nei corrispondenti intervalli, ossia ricavi $F_1$ da $F_2$ con la trasformazione inversa e ricavi l'intervallo di partenza mappando l'intervallo di arrivo in quello di partenza.
Come detto prima aspettiamo qualcuno di più esperto, mi sembra plausibile che sia così comunque.
"Daken97":
[quote="Mephlip"]Ma se la funzione è invertibile poi puoi tornare indietro nell'intervallo $(0,\infty)$ di $x$ senza perdita di informazioni per biunivocità, quindi credo che il problema non si ponga.
Anche perché sono funzioni invertibili negli intervalli di $t$ perché sono strettamente monotòne.
Magari aspetta un parere più esperto, a caldo mi è venuto da dirti questo; spero sia vero!
Benissimo. Ma quindi, la primitiva che ottengo effettuando la sostituzione $ x=sqrt(t^2-1) $ , è definita nell'intervallo $ (0,+∞ ) $, mentre quella che ottengo con la sostituzione $ x=-sqrt(t^2-1) $ nell'intervallo $ (-∞,0) $ ? Questo è quello che mi interessava sapere.[/quote]
Ovvio.
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