Integrale per sostituzione e fattorizzazione

[Pulcepelosa]

$int cotg^5x dx$

Ho fatto:
$int 1/(tg^5x) dx$ sostituzione $x=arctgt$ $int 1/(t^5*(1+t^2)) dt$ (ammesso che sia giusta la sostituzione)
$int A/t^5+B/(1+t^2) dt$ qui non mi è ben chiaro il grado dei polinomi che devo considerare al posto di A e B
intuitivamente mi viene da pensare che $1+t^2$ debba essere moltiplicato per un polinomio (A) che mi dia un grado 5, mentre $t^5$ per un polinomio (B) di grado zero, in modo che i termini alla quinta si possano eliminare l'un l'altro.
Chiaramente provando, il sistema è impossibile. quale è l'errore?

Grazie in anticipo
Fede

[Kroldar]

Prescindendo dall'integrale e dal tipo di sostituzione effettuata, una funzione razionale fratta del tipo

$1/(t^5 (1+t^2))$

si decompone in fratti semplici nel modo seguente:

$1/(t^5 (1+t^2)) = A/t + B/t^2 + C/t^3 + D/t^4 + E/t^5 + (Ft+G)/(1+t^2)$

dove $A,B,C,D,E,F,G$ sono numeri reali.

[_nicola de rosa]

"Pulcepelosa":$int cotg^5x dx$

Ho fatto:
$int 1/(tg^5x) dx$ sostituzione $x=arctgt$ $int 1/(t^5*(1+t^2)) dt$ (ammesso che sia giusta la sostituzione)
$int A/t^5+B/(1+t^2) dt$ qui non mi è ben chiaro il grado dei polinomi che devo considerare al posto di A e B
intuitivamente mi viene da pensare che $1+t^2$ debba essere moltiplicato per un polinomio (A) che mi dia un grado 5, mentre $t^5$ per un polinomio (B) di grado zero, in modo che i termini alla quinta si possano eliminare l'un l'altro.
Chiaramente provando, il sistema è impossibile. quale è l'errore?

Grazie in anticipo
Fede

lo puoi risolvere senza sostituzione e senza i calcoli immensi che ne seguono. infatti
$cotg^5x=(cos^5x)/(sin^5x)=cosx*(cos^4x)/(sin^5x)=cosx*(cos^2x)^2/(sin^5x)=cosx*(1-sin^2x)^2/(sin^5x)=cosx*(1+sin^4x-2sin^2x)/(sin^5x)$
=$cosx/(sin^5x)-2cosx/(sin^3x)+cosx/(sinx)=cosx*sin^(-5)x-2cosx*sin^(-3)x+cosx/(sinx)$ per cui
$int cotg^5x dx=intcosx*sin^(-5)xdx+int(-2cosx*sin^(-3)x)dx+intcosx/(sinx)dx$=
$intsin^(-5)xd(sinx)+int(-2sin^(-3)x)d(sinx)+int1/(sinx)d(sinx)$
=$-1/4*sin^(-4)x+sin^(-2)x+ln|sinx|+K$