Integrale per sostituzione

[smaug1]

Ragazzi ho dei dubbi per quanto riguarda gli integrali per sostituzione.

Es $\int \frac{x}{1 - x^2} dx$

Posso capire che una sostituzione ottima sarebbe $t = x^2$ e $dt = 2x dx$

Ora per sostituirlo concretamente al denominatore ho $t$ e al numeratore? Ho dei dubbi ragazzi...sarebbe $dx = -\frac{dt}{2x}$ dove la $x$ si semplificherebbe con la $x$ dell'integrale di partenza e fuori devo mettere $- \frac{1}{2}$? Funziona come ho detto?

Così mi viene $-\frac{1}{2} \log |1 - x^2| = \log \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ ? Grazie

[Sk_Anonymous]

Integrali come questi:

1.$\intf'(x)[f(x)]^alphadx=[f(x)]^(alpha+1)/(alpha+1)+c$

2.$\int(f'(x))/f(x)dx=log|f(x)|+c$

sono detti quasi immediati in quanto, ricordando la regola di derivazione di funzione composta, sono riconducibili a quelli immediati o elementari. Non c'è dubbio che possano essere risolti anche con il metodo di sostituzione, tuttavia si tratterebbe di un'inutile perdita di tempo. Quindi:

1.$\intsqrt(1+\log x)/xdx=\int1/x(1+\log x)^(1/2)dx=2/3(1+\log x)^(3/2)+c$

2.$\intx/(1-x^2)dx=-1/2\int(-2x)/(1-x^2)dx=-1/2\log|1-x^2|+c$

In definitiva, sarebbe opportuno utilizzare il metodo di sostituzione solo quando strettamente necessario.

[smaug1]

Non lo avevo visto speculor! Grazie