Integrale per sostituzione
Buonasera ragazzi ho ancora bisogno del vostro aiuto. xD
Mentre integravo per sostituzione il seguente integrale [tex]\displaystyle\int_{}^{} \sqrt{3-x^2} \, dx[/tex] ho avuto dei problemi. Il problema non sta nella sostituzione ma nel capire perchè il risultato sia [tex]{3 \over 2}( \arcsin{x \over \sqrt{3} } +{x \over 3}\sqrt{3-x^2}) +c[/tex] e non [tex]{3 \over 2}( \arcsin{x \over \sqrt{3} } +{3 \over \sqrt{3} }x) +c[/tex] . Credo che dipenda da qualche proprietà dell'arcsinx. Se potete spiegarmi tutto nei minimi dettagli. Vi ringrazio anticipatamente.
Mentre integravo per sostituzione il seguente integrale [tex]\displaystyle\int_{}^{} \sqrt{3-x^2} \, dx[/tex] ho avuto dei problemi. Il problema non sta nella sostituzione ma nel capire perchè il risultato sia [tex]{3 \over 2}( \arcsin{x \over \sqrt{3} } +{x \over 3}\sqrt{3-x^2}) +c[/tex] e non [tex]{3 \over 2}( \arcsin{x \over \sqrt{3} } +{3 \over \sqrt{3} }x) +c[/tex] . Credo che dipenda da qualche proprietà dell'arcsinx. Se potete spiegarmi tutto nei minimi dettagli. Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Prova la "magica" sostituzione [tex]x=\sqrt{3}\sin t[/tex];-)
Ma l'ho fatta -.-' Il problema nasce quando risostituisco... non mi trovo con il risultato...
Posta i conti.
Allora:
[tex]x=\sqrt{3} \sin t[/tex] [tex]dx=\sqrt{3} \cos t dt[/tex]
[tex]\displaystyle\int_{} \sqrt{3-3sin^2t}\sqrt{3}cost \, dt[/tex]
Poi metto in evidenza 3 sotto radice e lo porto fuori sottoforma di radicale,che moltiplicato per il radicale del coseno diventa 3,e otteniamo:
[tex]3\displaystyle\int_{} \sqrt{1-sin^2t}\ cost \, dt[/tex] --> [tex]3\displaystyle\int_{} \sqrt{cos^2t}\ cost \, dt[/tex] --> [tex]3\displaystyle\int_{} \ cos^2t \, dt[/tex]
[tex]cos^2t = {1 \over 2}( 1+cos2t)[/tex] (Dalla formula di bisezione del coseno)
[tex]{3 \over 2} \displaystyle\int_{} \ (1+cos2t) \, dt[/tex] --> [tex]{3 \over 2} \displaystyle\int_{} \ \, dt + {3 \over 4} \displaystyle\int_{} \ cos2t \, d2t[/tex] ---> [tex]{3 \over 2} t + {3 \over 4}sin2t + c[/tex] ---> Risostituiamo e abbiamo:
[tex]{3 \over 2}\arcsin{{x\over \sqrt{3} }}+ {3 \over \sqrt{3} }x + c[/tex] ... Premetto che il mio errore sta nel sostituire [tex]t[/tex] in [tex]sin2t[/tex] ma non so come risolverlo. Grazie per la tua risposta.
[tex]x=\sqrt{3} \sin t[/tex] [tex]dx=\sqrt{3} \cos t dt[/tex]
[tex]\displaystyle\int_{} \sqrt{3-3sin^2t}\sqrt{3}cost \, dt[/tex]
Poi metto in evidenza 3 sotto radice e lo porto fuori sottoforma di radicale,che moltiplicato per il radicale del coseno diventa 3,e otteniamo:
[tex]3\displaystyle\int_{} \sqrt{1-sin^2t}\ cost \, dt[/tex] --> [tex]3\displaystyle\int_{} \sqrt{cos^2t}\ cost \, dt[/tex] --> [tex]3\displaystyle\int_{} \ cos^2t \, dt[/tex]
[tex]cos^2t = {1 \over 2}( 1+cos2t)[/tex] (Dalla formula di bisezione del coseno)
[tex]{3 \over 2} \displaystyle\int_{} \ (1+cos2t) \, dt[/tex] --> [tex]{3 \over 2} \displaystyle\int_{} \ \, dt + {3 \over 4} \displaystyle\int_{} \ cos2t \, d2t[/tex] ---> [tex]{3 \over 2} t + {3 \over 4}sin2t + c[/tex] ---> Risostituiamo e abbiamo:
[tex]{3 \over 2}\arcsin{{x\over \sqrt{3} }}+ {3 \over \sqrt{3} }x + c[/tex] ... Premetto che il mio errore sta nel sostituire [tex]t[/tex] in [tex]sin2t[/tex] ma non so come risolverlo. Grazie per la tua risposta.
[tex]\sin(2t)=2\sin t\cos t=2\sin(\arcsin y)\cos(\arcsin y)=2y\sqrt{1-\sin^2(\arcsin y)}[/tex]
[tex]=2y\sqrt{1-y^2}=\frac{2}{3}x\sqrt{3-x^2}[/tex]
avendo posto, per i calcoli, [tex]y=\frac{x}{\sqrt{3}}[/tex]. Ok?
[tex]=2y\sqrt{1-y^2}=\frac{2}{3}x\sqrt{3-x^2}[/tex]
avendo posto, per i calcoli, [tex]y=\frac{x}{\sqrt{3}}[/tex]. Ok?
Ah ho capito,l'avevo anche fatta la trasformazione della duplicazione del seno,ma mi ero bloccato al coseno dell'arcoseno.. Grazie di cuore 
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