Integrale per sostituzione

[barone_81]

Ciao,

devo sostenere analisi 1 e sto combattendo per la prima volta con gli integrali quindi vi cheiderò aiuto per alcuni esercizi...grazie in anticipo:

devo risolvere questo integrale $ int 1/(cos^2(x)sin(x))dx $
Immagino di dover procedere per sostituzione,ma non so da dove partire,non so se usare$ t=cos(x)$ oppure $t=cos^2(x)$ oppure sostituire $cos^2(x)$ con $1-sin^2(x)$..

[gugo82]

Ad occhio, nessuna delle due alternative è quella buona.

C'è una sostituzione standard che funziona sempre, anche se porta a conti bruttini a volte... La conosci?

[pilloeffe]

Ciao barone_81,

Tanto per cominciare lo elaborerei così:

$ \int 1/(cos^2(x)sin(x)) \text{d}x = \int (cos^2(x) + sin^2(x))/(cos^2(x)sin(x)) \text{d}x = \int 1/(sin(x)) \text{d}x + \int sin(x)/cos^2(x) \text{d}x = $
$ = \int 1/(sin(x)) \text{d}x + 1/cos(x) + c $

A questo punto ti resta da risolvere $ \int 1/(sin(x)) \text{d}x $, ad esempio osservando che $cos^2(x/2) + sin^2(x/2) = 1 $ e $sin(x) = 2 sin(x/2)cos(x/2) $ se non vuoi risolverlo per sostituzione.

[21zuclo]

Mi ricordo che in un'esercitazione di Analisi 1, l'esercitatore ci aveva fatto vedere delle sostituzioni per questi tipi di integrali con denominatore $ cos^2(x), sin^2(x), sin(x)cos(x), tan(x), cot (x) $

in questo caso si ha $ tan(x)=s\to x=arctan(s)\to dx=(ds)/(1+s^2) $
quindi si ha
$ cos^2(x)=(1)/(s^2+1), sin^2(x)=(s^2)/(s^2+1) $

sostituisci il tutto

$ cos^2(x)sin(x)=(1)/(s^2+1)\cdot (s^2)/(s^2+1)=(s^2)/((s^2+1)^2) $

siccome ce l'hai al denominatore inverti ed ottieni $ ((s^2+1)^(2))/(s^2) $

quindi infine hai
$ \int ((s^2+1)^(2))/(s^2)\cdot (1)/(s^2+1)ds\to \int (s^2+1)/(s^2)ds $

e qui dovresti proseguire tranquillamente

P.S.: per questo integrale $ int (1)/(sin x)dx $ si doveva utilizzare questa sostituzione $ t=tan(x/2) $
e poi $ sin(x)=(2t)/(1+t^2) $

[pilloeffe]

Ciao 21zuclo,

"21zuclo":per questo integrale $ \int (1)/(sin x)dx $ si doveva utilizzare questa sostituzione $t=tan(x/2)$

Eviterei di usare il verbo "dovere" in Analisi matematica, anche perché l'esperienza mi ha mostrato che spesso per un dato problema posto esiste più di una procedura risolutiva.
Nello specifico poi, la soluzione dell'integrale $ \int 1/(cos^2(x)sin(x)) \text{d}x $ che hai proposto è errata:

"21zuclo":sostituisci il tutto
$cos^2(x)sin(x)=(1)/(s^2+1)\cdot (s^2)/(s^2+1)=(s^2)/((s^2+1)^2) $

Infatti al posto di $sin(x) $ hai sostituito $(s^2)/(s^2+1)$, che però è $sin^2(x) $, non $sin(x) $...
La soluzione proposta dell'integrale $ \int (1)/(sin x) \text{d}x $ tramite le formule parametriche poi mi pare più laboriosa rispetto a quella suggerita, che è praticamente immediata:

$ \int 1/(sin(x)) \text{d}x = \int (cos^2(x/2) + sin^2(x/2))/(2 sin(x/2)cos(x/2)) \text{d}x = 1/2 \int (cos(x/2))/(sin(x/2)) \text{d}x + 1/2 \int (sin(x/2))/(cos(x/2)) \text{d}x = $
$ = ln|sin(x/2)| - ln|cos(x/2)| + c = ln|tan(x/2)| + c $

[21zuclo]

"pilloeffe":
Infatti al posto di $sin(x) $ hai sostituito $(s^2)/(s^2+1)$, che però è $sin^2(x) $, non $sin(x) $...

hai ragione. Chiedo scusa a tutti per l'errore!

allora si ha che si può sostituire, procedendo con il mio suggerimento
$ sin(x)=(2s)/(1+s^2) $ e $ cos^2(x)=(1)/(1+s^2) $

con ovviamente la sostituzione $ tan(x)=s $

perché se scegliessi $ tan(x/2)=s $ avrei $ cos(x)=(1-s^2)/(1+s^2) $ e $ sin(x)=(2s)/(1+s^2) $

Corretto?

[pilloeffe]

"21zuclo":allora si ha che si può sostituire, procedendo con il mio suggerimento
$ sin(x) = (2s)/(1+s^2) $ e $cos^2(x)=1/(1+s^2) $
con ovviamente la sostituzione $tan(x)=s $
[...] Corretto?

No. Quella del seno è errata, sono corrette quelle che avevi scritto nel post precedente:

$cos^2(x)=(1)/(s^2+1)$, $ sin^2(x)=(s^2)/(s^2+1) $

con $s = tan(x) $. Il fatto è che dalla formula del seno al quadrato per ricavarti il seno dovresti estrarre la radice quadrata, oltretutto col problema della scelta del segno:

$sin(x) = \pm s/sqrt{s^2 + 1} $

Invece le

$cos(x)=(1 - t^2)/(1+ t^2) $, $ sin(x) = (2t)/(1 + t^2) $

con $t = tan(x/2) $ sono le formule parametriche. Il fatto è che poi elevando il coseno al quadrato, non mi pare che risulti un integrale così semplice da trattare...

[21zuclo]

grazie! Purtroppo sono un po' arrugginito, non le faccio da un bel po', ma mi ricordavo questa cosa per questo tipo di integrali.

Va be', un ripasso non fa mai male

spero che all'autore del post gli abbiamo risolto i dubbi.

[pilloeffe]

"21zuclo":P.S.: per questo integrale $\int 1/(sin x)dx $ si doveva utilizzare questa sostituzione $t = tan(x/2) $
e poi $sin(x) = (2t)/(1+t^2)$

Beh, questa comunque al di là del verbo "dovere" è una sostituzione corretta e porta velocemente alla soluzione dell'integrale, qualora lo si voglia/debba risolvere per sostituzione, come peraltro scritto nel titolo del post:

$ \int 1/(sin x) \text{d}x = \int (1 + t^2)/(2t) \cdot 2/(1 + t^2) \text{d}t = \int 1/t \text{d}t = ln|t| + c = ln|tan(x/2)| + c $