Integrale per sostituzione

[barone_81]

Ciao a tutti,sono a un livello base sugli integrali e ho bisogno di alcuni consigli per il seguente integrale:

$ int1/(sin^2x(1+cotx))dx $
Sono partito dal presupposto che $ cot x=cosx/(senx) $
Se vado a sostituire mi esce:
$ int 1/(sin^2x(1+(cosx/sinx)))dx $
svolgendo i calcoli al denominatore mi vengono due opzioni :

$ int 1/(sin^2x+sinxcosx)dx $
oppure

$ int 1/(sinx(sinx+cosx)dx $


Non riesco ad andare avanti,credo devo integrare per sostituzione ma non mi viene niente

Se potete aiutarmi vi ringrazio tanto

[Mephlip]

Suggerimento: qual è la derivata della cotangente?

[barone_81]

$ -1/(sen^2x $

dovrei spezzare la funzione
$ 1/(sen^2x+senxcosx $ ?
Non mi viene in mente come però..

[gugo82]

No, niente spezzatino.

Guarda bene il tuo integrando: non ti pare si possa fare una evidente sostituzione?

[barone_81]

vuoto assoluto...che pippa che sono

[gugo82]

Scusa, hai appena scritto che se $phi(x) = cot x$ allora $phi^\prime (x) = -1/sin^2 x$, dunque il tuo integrale è (quasi) nella forma:

$int phi^\prime (x)\ f(phi(x))\ "d" x$.

Questo ti fa scattare qualcosa in mente?


P.S.: Visto che ci sei, butta un'occhiata a questi fogli: potrebbero essere utili.

[pilloeffe]

Ciao barone_81,

Dato che è passato un bel po' di tempo e non sei più intervenuto, non è chiaro se coi suggerimenti che ti sono già stati forniti sei poi riuscito a pervenire alla soluzione oppure no...
Essendo veramente elementare, la scrivo esplicitamente:

$\int 1/(sin^2x(1+cotx)) \text{d}x = - \int (- 1/(sin^2x) \cdot 1/(1+cotx)) \text{d}x = - \int (\text{d}(1 + cotx))/(1+cotx) = $
$ = - ln|1 + cotx| + c = - ln|1 + cosx/sinx| + c = - ln|(sinx + cosx)/sinx| + c = $
$ = - (ln|sinx + cosx| - ln|sinx|) + c = ln|sinx| - ln|sinx + cosx| + c $