Integrale per sostituzione
Buongiorno a tutti, un esercizio d'esame chiedeva di calcolare questo integrale $int xarctan(2x) dx $.
Ho svolto l'esercizio integrando per parti ponendo $f(x) = arctan(2x), f'(x) = 2/(4x^2+1), g'(x) = x, g(x) = x^2/2$ e arrivando ad avere $x^2/2(arctan(2x))-int(x^2/(4x^2+1))dx$. Ho avuto problemi a risolvere l'integrale generato da $f'(x)*g(x)$. Come si risolve?
Grazie
Ho svolto l'esercizio integrando per parti ponendo $f(x) = arctan(2x), f'(x) = 2/(4x^2+1), g'(x) = x, g(x) = x^2/2$ e arrivando ad avere $x^2/2(arctan(2x))-int(x^2/(4x^2+1))dx$. Ho avuto problemi a risolvere l'integrale generato da $f'(x)*g(x)$. Come si risolve?
Grazie
Risposte
Io farei prima una sostituzione per agevolare il tutto
$2x=t$
$dx=1/2 dt$
$int x arctan (2x) dx = 1/4 int t arctan t dt$
e ora vai per parti
$2x=t$
$dx=1/2 dt$
$int x arctan (2x) dx = 1/4 int t arctan t dt$
e ora vai per parti
sono di pari grado...fai la divisione...come resto ti rimarrà qualche cosa che può essere o l'intgrale di un logaritmo o di un'arctan.... 
"mazzarri":
Io farei prima una sostituzione per agevolare il tutto
$2x=t$
$dx=1/2 dt$
$int x arctan (2x) dx = 1/4 int t arctan t dt$
e ora vai per parti
ciao caro...se non sbaglio chiedeva lumi su questo:
$intx^2/(4x^2+1)dx$
$intx^2/(4x^2+1)dx=1/4int(4x^2)/(4x^2+1)dx=1/4{int(4x^2+1-1)/(4x^2+1)dx}=1/4{intdx-int1/(4x^2+1)dx}=$
$=1/4{intdx-1/2int1/(1+(2x)^2)d(2x)}=x/4-1/8arctan(2x)$
in questo modo eviti di fare tanti conti....comunque puoi tranquillamente fare la divisione fra numeratore e denominatore se così non ti piace....
$=1/4{intdx-1/2int1/(1+(2x)^2)d(2x)}=x/4-1/8arctan(2x)$
in questo modo eviti di fare tanti conti....comunque puoi tranquillamente fare la divisione fra numeratore e denominatore se così non ti piace....
non ho capito l'ultimo passaggio
"maxpix":
non ho capito l'ultimo passaggio
quale? Questo?
$int1/(1+4x^2)dx=int1/(1+(2x)^2)dx$
ora puoi sostituire $2x=t$ e procedi....io non l'ho fatta perché ho cambiato direttamente il differenziale...è la stessa cosa....se differenzio in $2x$ invece che rispetto a $x$ sono a posto
Per fare questo moltiplico e divido per 2....
si, perchè 1/2 fuori e d(2x)?
"maxpix":
si, perchè 1/2 fuori e d(2x)?
per "accordare" il differenziale con la variabile $(2x)$...se non riesci fai la sostituzione....io ti consiglio di provare così...in questo modo ti rendi conto bene di come funziona la sostituzione...
$int1/(1+(2x)^2)dx=1/2int(2dx)/(1+(2x)^2)=1/2int1/(1+t^2)dt$
poniamo $2x=t$ e quindi $2dx=dt$..ci serve un 2 dentro l'integrale...e quindi moltiplichiamo per 2 e "tiriamo fuori" $1/2$
....è più chiaro ora? Se impari a cambiare subito il differenziale eviti tutti questi passaggi noiosi sulla sostituzione....il risultato non cambia...consumi solo meno carta
capito, ora faccio una domanda inerente agli integrali ma che non ha niente a che fare con questo esercizio.
Nelle somme integrali inferiori e superiori di Riemann i massimi e minini, indicano l'altezza dei rettangoli no?
Cioè calcolando ad esempio le somme inferiori sono sicuro che il punto di minimo è il punto più alto del rettangolo con base $x_k, x_(k+1)$. sbaglio?
Nelle somme integrali inferiori e superiori di Riemann i massimi e minini, indicano l'altezza dei rettangoli no?
Cioè calcolando ad esempio le somme inferiori sono sicuro che il punto di minimo è il punto più alto del rettangolo con base $x_k, x_(k+1)$. sbaglio?
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