Integrale per sostituzione?

[lorrr96]

Ciao a tutti, sto cercando di risolvere questo integrale; qualcuno può aiutarmi?

\(\displaystyle \int\frac{1-x}{1+\sqrt{x}} dx \)

Io ho posto \(\displaystyle t=\sqrt{x} \) da cui \(\displaystyle x=t^2 \) e \(\displaystyle dx=2t dt \)

l'integrale diventa quindi \(\displaystyle \int\frac{2t-2t^3}{1+t}dt \)

poi ho diviso il numeratore per il denominatore: \(\displaystyle -2t^3+2t=(t+1)(-2t^2+2t) \)

ottenendo quindi \(\displaystyle \int\frac{(t+1)(-2t^2+2t)}{t+1}dt=\int-2t^2+2tdt \)

il quale si risolve banalmente come \(\displaystyle 2(-\frac{x\sqrt{x}}{3}+\frac{x}{2})=-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+x \)

ma tale risultato credo sia errato, infatti la sua derivata vale \(\displaystyle -\sqrt{x}+1 \)

Dove sto sbagliando?

[lorrr96]

Ho provato a fare anche un'altra sostituzione e mi viene lo stesso risultato:

\(\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{x}} \) da cui \(\displaystyle x=\frac{1}{t^2} \), \(\displaystyle dx=-\frac{2}{t^3}dt \)

ottenendo così l'integrale \(\displaystyle \int-\frac{\frac{t^2-1}{t^2}}{\frac{t+1}{t}}\frac{2}{t^3}dt=-2\int\frac{t^2-1}{t^4(t+1)}dt \)

Ho risolto questo integrale ponendolo uguale a \(\displaystyle -2\int\frac{A}{t+1}+\frac{Bt+C}{t^4}dt \)

da cui, sviluppando i calcoli, si ottiene \(\displaystyle \begin{cases}
A=0 \\ B=1 \\ C=-1
\end{cases} \)

e quindi \(\displaystyle -2\int\frac{A}{t+1}+\frac{Bt+C}{t^4}dt=-2\int\frac{t-1}{t^4}dt=-2\biggl(\int\frac{1}{t^3}dt-\int\frac{1}{t^4}dt\biggr)=x-\frac{2}{3}x\sqrt{x} \)

Però il mio libro riporta un altro risultato: \(\displaystyle \biggl[2\biggl(\frac{\sqrt{x^3}}{3}-\frac{x}{2}+2\sqrt{x}-2ln\bigl(1+\sqrt{x}\bigr)\biggr)\biggr] \)

Come mai?