Integrale per sostituzione

[rikideveloper]

Salve sto cercando di risolvere un integrale per sostizione ho provato diverse volte ma non riesco a trovare il risultato corretto l'esercizio dice: sostituire t=radice(x) al seguente integrale:
$ intsqrt(x)/(1+4x) dx $

riuscite a farmi vedere come si risolve

[E-3131]

Andando a sostituire $ sqrt(x)=t $ e $ (dx)/(2sqrt(x))=dt $ l'integrale diventa : $ int 2t^2/(1+4t^2) dt $ dalla divisione tra polinomi otteniamo: $ int1/2-1/(2(1+4x^2)) dt $ che diventa $ 1/2t-1/4arctan(2t)+c $ andando a sostituire
$ t=sqrt(x) $ e abbiamo $ 1/2sqrt(x)-1/4arctan(2sqrt(x))+c $

[rikideveloper]

Grazie per la risposta, ma non ho capito perchè poni la dt = dx/(2radice(x))

[E-3131]

$ t=sqrt(x) $ e $ dt/dx=1/(2sqrt(x)) $ e di conseguenza $ dt=dx/(2sqrt(x)) $ , più in generale: la relazione $ x = φ(t) $ comporta $ dx/dt = φ'(t) $ e quindi la conseguenza formale $ dx = φ'(t) dt $.