Integrale per sostituzione

[kioccolatino90]

Ciao a tutti ho un integrale che devo risolverlo per sostituzione solo che non capisco perchè non mi trovo, l'integrale è:

$int 1/(xsqrt(x^2+9))dx$; io l'ho risolto in questo modo:

pongo $x=3 sinh (t)$ da cui segue che $dx=3cosht dt$ e che $t=arcsinh(x/3)$ quindi:

$int (3cosht)/(3 sinht sqrt(9sinh^2t+9))dt=$ $1/3int (cosht)/(sinht sqrt(sinh^2t+1))dt=$ $1/3int (cosht)/(sinht sqrt(cosh^2t-1+1))dt=$

$1/3int (cosht)/(sinht cosht)dt=$ $1/3int 1/sinht dt=$ $1/3int cosech(t) dt$;

moltiplico e divido per $cosech(t)-ctgh (t)$ e si ha:

$1/3int cosech(t) * (cosech(t)-ctgh (t))/(cosech(t)-ctgh (t))dt =$


$=1/3int (cosech^2(t)-ctgh (t)cosech(t))/(cosech(t)-ctgh (t))dt =$ $1/3 ln |cosech(t)-ctgh (t)| +C$

ritornando alla variabile $x$ si ha:


$1/3ln |3/x-(sqrt(9+x^2))/x|+C =$ $1/3ln |(3-sqrt(9+x^2))/x|+C$; e non si trova per pochissimo, ho ricontrollato tantissime volte ma non riesco a trovare l'errore!! dovrebbe uscire:

$-1/3 ln |(3+sqrt(x^2+9))/x|+C$ come posso fare????

[kioccolatino90]

Ciao, grazie per l'aiuto, quando dici che ho commesso piccole imprecisioni nel moltiplicare e dividere che intendi dire, cioè quali sono?