Integrale per sosituzione (un altro..)

[Berker]

Calcolare $$\int \frac{5x-3}{\sqrt{4-3x^2}}dx$$

Ponendo $u=4-3x^2$ si ha allora $dx= -\frac{1}{2\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-u}}du$.

L'integrale diventa (già spezzato in due parti) $\int -\frac{5}{3} \frac{1}{2\sqrt{u}}du +\int \frac{1}{2\sqrt{u}} \sqrt{\frac{3}{4-u}}du$ .

Quello di sinistra è immediato, ma come andare avanti con quello di destra? C'è qualcosa di teoria che dovrei sapere per risolverlo?

[anonymous_0b37e9]

Per ridursi a due integrali quasi immediati (funzioni composte) senza sostituzioni non strettamente necessarie:

$\int(5x-3)/sqrt(4-3x^2)dx=$

$=5\intx/sqrt(4-3x^2)dx-3\int1/sqrt(4-3x^2)dx=$

$=-5/6\int(-6x)/sqrt(4-3x^2)dx-sqrt3\int(sqrt3/2)/sqrt(1-(sqrt3/2x)^2)dx$

[Berker]

Grazie!

E se volessi continuare per la mia strada come dovrei fare?

[anonymous_0b37e9]

Dopo il seguente passaggio:

$5\intx/sqrt(4-3x^2)dx-3/2\int1/sqrt(1-3/4x^2)dx$

Primo integrale

$t=4-3x^2$

Secondo integrale

$t=sqrt3/2x$

Tuttavia, sono sostituzioni assolutamente non necessarie. Se posso darti un consiglio, ti conviene studiare gli integrali quasi immediati, quelli che si riducono agli immediati mediante le derivate delle funzioni composte per intenderci.

[Berker]

Grazie ancora.
Volevo comparare i due modi di risoluzione per capire a fondo il perchè fosse più immediato l'uno o l'altro.

L'ultima cosa: per integrali quasi immediati tu intendi quindi cose del genere $\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx =log|f(x)| +C$ e $\int \frac{f'(x)}{\sqrt{1-f^2 (x)}}dx= arcsin(x) +C$ ecc?

[anonymous_0b37e9]

Intendo proprio quelli.