Integrale per parti sin(x) sin(nx)

[waltermath]

Salve a tutti non riesco a capire dove sbaglio nel risolvere questo integrale

$int sin(x) sin(nx) dx$

cerco di risolverlo per parti ponendo
$f(x) = sin(x)$ $f^{'}(x) = cos(x)$
$g(x) = - cos(nx)/n$ $g^{'}(x) = sin(nx)$

ottengo
$1/n ( - cos(nx) sin(x) - int - cos(nx) cos(x) dx)$

pongo
$f(x) = cos(x)$ $f^{'}(x) = -sin(x)$
$g(x) = sin(nx)/n$ $g^{'}(x) = cos(nx)$


ottengo
$1/n ( - cos(nx) sin(x) + (sin(nx)/n cos(x) +1/n int sin(x) sin(nx) dx))=$

uguagliando quanto trovato all'integrale di partenza
$ - (cos(nx) sin(x))/n + (sin(nx) cos(x))/n^2 +1/n^2 int sin(x) sin(nx) dx=int sin(x) sin(nx) dx$

ponendo a fattor comune

$ - (cos(nx) sin(x))/n + (sin(nx) cos(x))/n^2 =(1-1/n^2)int sin(x) sin(nx) dx$

$ - (cos(nx) sin(x))/n + (sin(nx) cos(x))/n^2 =((n^2-1)/n^2)int sin(x) sin(nx) dx$

$ (-(cos(nx) sin(x))/n + (sin(nx) cos(x))/n^2) (n^2/(n^2-1)) = int sin(x) sin(nx) dx$

il risultato finale è

$ (-n cos(nx) sin(x) + sin(nx) cos(x)) /(n^2-1) = int sin(x) sin(nx) dx$

diverso da quello che mi aspettavo che dovrebbe essere

$ (n cos(nx) sin(x) - sin(nx) cos(x)) /(1- n^2) = int sin(x) sin(nx) dx$

Da notare che il risultato corretto lo ottengo se nello svolgere l'esercizio considero una diversa integrazione per parti

nel primo integrale
$f(x) = sin(nx)$ $f^{'}(x) = ncos(nx)$
$g(x) = - cos(x)$ $g^{'}(x) = sin(x)$

e poi reitero quanto già mostrato sopra con la seconda integrazione per parti
$f(x) = cos(nx)$ $f^{'}(x) = -nsin(nx)$
$g(x) = -sin(x)$ $g^{'}(x) = cos(x)$

Non riesco a capire dove SBAGLIO!!!!
Grazie in anticipo per la collaborazione e per il vostro tempo.

[walter891]

sicuro che siano diversi i due risultati?

[stormy1]

piccolo suggerimento
per questo integrale,la formula di Werner $senasenb=1/2[cos(a-b)-cos(a+b)]$ è la morte sua

[@melia]

$ (-n cos(nx) sin(x) + sin(nx) cos(x)) /(n^2-1) = - (n cos(nx) sin(x) - sin(nx) cos(x)) /(n^2-1) =$
$ = (n cos(nx) sin(x) - sin(nx) cos(x)) /(1- n^2)$

[waltermath]

"walter89":sicuro che siano diversi i due risultati?

"@melia":$ (-n cos(nx) sin(x) + sin(nx) cos(x)) /(n^2-1) = - (n cos(nx) sin(x) - sin(nx) cos(x)) /(n^2-1) =$
$ = (n cos(nx) sin(x) - sin(nx) cos(x)) /(1- n^2)$

!!!!VERO!!!!
Forum Eccezionale.
Grazie Mille!!

[waltermath]

"stormy":piccolo suggerimento
per questo integrale,la formula di Werner $senasenb=1/2[cos(a-b)-cos(a+b)]$ è la morte sua

Si avevo già provato con Werner, anche se il procedimento diventa un pò più lungo, dovendo utilizzare le formule goniometriche di addizione e sottrazione.
GRAZIE.

[stormy1]

$ intsinxsinnxdx=1/2[intcos(1-n)xdx-intcos(1+n)xdx]= 1/2[1/(1-n)sin(1-n)x-1/(1+n)sin(1+n)x+c]$
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