Integrale per parti o per sostituzione?

[mazzy89-votailprof]

ho un problema con il seguente integrale: $-int x^3e^(x^2/2)dx$.non riesco a risolverlo.per parti non arrivo da nessuna parte

[Omen1]

Per parti diviene abbastanza agevole se si considera che $ D(e^(x^2/2)) = xe^(x^2/2) $ , e dunque l'integrale può essere banalmente riscritto come:

$ int_()^() x^3(e^(x^2/2))dx = int_()^() x^2(xe^(x^2/2))dx $

Questo piccolo accorgimento ti permette di risolvere facilmente il tutto considerando la quantità tra parentesi come fattore differenziale e il quadrato fuori parentesi come fattore finito.

[gugo82]

Esercizio:

Siano [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] ed [tex]$\alpha \in \mathbb{R}\setminus \{ 0\}$[/tex].
Dimostrare che l'integrale:

(1) [tex]$I_n:=\int x^n\ e^{\alpha x^2}\ \text{d} x$[/tex]

è calcolabile elementarmente se e solo se [tex]$n$[/tex] è dispari, cioè se [tex]$n=2h+1$[/tex] per qualche [tex]$h\in \mathbb{N}$[/tex].

Suggerimenti: Si integri (1) per parti ricavando una formula di ricorrenza del tipo [tex]$I_n=k_n(x)-c_n\ I_{n-2}$[/tex] (con [tex]$k_n(x)$[/tex] opportuna funzione e [tex]$c_n \in \mathbb{R}$[/tex] opportuna costante).
Si distinguano infine i casi [tex]$\text{$n$ dispari}$[/tex] ed [tex]$\text{$n$ pari}$[/tex] e si tenga presente che [tex]$I_0:=\int e^{\alpha x^2}\ \text{d} x$[/tex] non è calcolabile elementarmente*.


__________
* Questa è una grande verità della Matematica che uno farebbe bene ad imparare da subito, sì da non perdere tempo a fare conti...

P.S.: Questo è un esercizio del Giusti un po' modificato; l'ho fatto preparando Analisi I una decina d'anni fa.

[gugo82]

"gugo82":Esercizio:

Siano [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] ed [tex]$\alpha \in \mathbb{R}\setminus \{ 0\}$[/tex].
Dimostrare che l'integrale:

(1) [tex]$I_n:=\int x^n\ e^{\alpha x^2}\ \text{d} x$[/tex]

è calcolabile elementarmente se e solo se [tex]$n$[/tex] è dispari, cioè se [tex]$n=2h+1$[/tex] per qualche [tex]$h\in \mathbb{N}$[/tex].

Suggerimenti: Si integri (1) per parti ricavando una formula di ricorrenza del tipo [tex]$I_n=h_n(x)-c_n\ I_{n-2}$[/tex] (con [tex]$h_n(x)$[/tex] opportuna funzione e [tex]$c_n \in \mathbb{R}$[/tex] opportuna costante).
Si distinguano infine i casi [tex]$\text{$n$ dispari}$[/tex] ed [tex]$\text{$n$ pari}$[/tex] e si tenga presente che [tex]$I_0:=\int e^{\alpha x^2}\ \text{d} x$[/tex] non è calcolabile elementarmente*.


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* Questa è una grande verità della Matematica che uno farebbe bene ad imparare da subito, sì da non perdere tempo a fare conti...

Per [tex]$n=1$[/tex] l'integrale [tex]$I_1$[/tex] è immediato:

[tex]$\int x\ e^{\alpha x^2}\ \text{d} x =\frac{1}{2\alpha}\ e^{\alpha x^2} +\text{cost}$[/tex].

Supponiamo [tex]$n\geq 2$[/tex] ed integriamo [tex]$I_n$[/tex] per parti con fattore finito [tex]$x^{n-1}$[/tex] e fattore differenziale [tex]$x\ e^{\alpha x^2}$[/tex]:

[tex]$I_n=\frac{1}{2\alpha }\ x^{n-1}\ e^{\alpha x^2} -\frac{n-1}{2\alpha} \int x^{n-2}\ e^{\alpha x^2}\ \text{d} x$[/tex]

ed il secondo membro è nella forma [tex]$k_n(x)-c_n\ I_{n-2}$[/tex] con [tex]$k_n(x):=\frac{1}{2\alpha }\ x^{n-1}\ e^{\alpha x^2}$[/tex] e [tex]$c_n:=\tfrac{n-1}{2\alpha}$[/tex].

In questo modo è facile ragionare per ricorrenza, distinguendo i due casi:

1. nel caso [tex]$n=2h+1$[/tex]:

[tex]$I_{2h+1}=k_{2h+1}(x)-c_{2h+1}\ I_{2h-1}$[/tex]
[tex]$=k_{2h+1} (x)-c_{2h+1}\ k_{2h-1}(x) +c_{2h+1}c_{2h-1}\ I_{2h-3}$[/tex]
[tex]$=k_{2h+1} (x)-c_{2h+1}\ k_{2h-1} (x) +c_{2h+1}c_{2h-1}\ k_{2h-3} (x) -c_{2h+1}c_{2h-1}c_{2h-3}\ I_{2h-5}$[/tex]
[tex]$ =\ldots$[/tex]

da cui, in generale, si ricava per [tex]$I_{2h+1}$[/tex] l'espressione in forma chiusa:

[tex]$I_{2h+1} =\sum_{i=0}^{h-1} (-1)^i \gamma_i\ k_{2(h-i)+1} (x) + (-1)^h \gamma_h\ I_1$[/tex],

ove [tex]$\gamma_i=\prod_{j=0}^{i-1} c_{2(h-j)+1}$[/tex] (con la convenzione [tex]$\gamma_0=\prod_{j=0}^{-1} c_{2(h-j)+1} :=1$[/tex]);

2. nel caso [tex]$n=2h$[/tex], ragionando analogamente si ottiene per [tex]$I_{2h}$[/tex] la forma chiusa:

[tex]$I_{2h} =\sum_{i=0}^{h-1} (-1)^i \gamma_i\ k_{2(h-i)}(x) +\gamma_h\ I_0$[/tex],

con [tex]$\gamma_i:=\prod_{j=0}^{i-1} c_{2(h-j)}$[/tex].

Visto che [tex]$I_1$[/tex] è calcolabile elementarmente, anche ogni [tex]$I_{2h+1}$[/tex] risulta calcolabile elementarmente; al contrario, dato che [tex]$I_0$[/tex] non è calcolabile elementarmente, nemmeno alcun [tex]$I_{2h}$[/tex] è calcolabile elementarmente.