Integrale per parti di Lebesgue all'infinito
Ciao a tutti, ho nuovi dubbi sull'integrale di Lebesgue.
(1) Se \( f \) e \( g \) sono funzioni assolutamente continue in \( [a,b] \), allora vale la formula di integrazione per parti
\[ \int_a^b f' g = f(b)g(b)-f(a)g(a) - \int_a^b fg' \]
Quel che mi domando è: se per ipotesi pongo che \( f \) e \( g \) sono assolutamente continue su \( \mathbb{R} \), è vero che
\[ \int_{\mathbb{R}} f' g = f(+\infty)g(+\infty)-f(-\infty)g(-\infty) - \int_{\mathbb{R}} fg' \]
(dove ovviamente \( f(\pm \infty) \), \( g(\pm \infty) \) denotano i rispettivi limiti all'infinito)?
Non riesco a trovare da nessuna parte qualcuno che generalizza la formula di integrazione per parti come l'ho scritta sopra e quindi mi è venuto il dubbio.
(2) Se tale formula risulta vera, è necessario fare dei passaggi al limite per dimostrarla oppure è applicabile il teorema di Fubini considerando tutto \( \mathbb{R}^2 \) anziché lavorare su "rettangoli"?
Secondo me Fubini dovrebbe bastare, voi che dite?
(3) Chiedere l'assoluta continuità su tutto \( \mathbb{R} \) è una condizione più forte del chiedere che esista il limite all'infinito sotto l'ipotesi di assoluta continuità locale?
Su questo non so proprio cosa dire, avrei bisogno di qualche lume.
(1) Se \( f \) e \( g \) sono funzioni assolutamente continue in \( [a,b] \), allora vale la formula di integrazione per parti
\[ \int_a^b f' g = f(b)g(b)-f(a)g(a) - \int_a^b fg' \]
Quel che mi domando è: se per ipotesi pongo che \( f \) e \( g \) sono assolutamente continue su \( \mathbb{R} \), è vero che
\[ \int_{\mathbb{R}} f' g = f(+\infty)g(+\infty)-f(-\infty)g(-\infty) - \int_{\mathbb{R}} fg' \]
(dove ovviamente \( f(\pm \infty) \), \( g(\pm \infty) \) denotano i rispettivi limiti all'infinito)?
Non riesco a trovare da nessuna parte qualcuno che generalizza la formula di integrazione per parti come l'ho scritta sopra e quindi mi è venuto il dubbio.
(2) Se tale formula risulta vera, è necessario fare dei passaggi al limite per dimostrarla oppure è applicabile il teorema di Fubini considerando tutto \( \mathbb{R}^2 \) anziché lavorare su "rettangoli"?
Secondo me Fubini dovrebbe bastare, voi che dite?
(3) Chiedere l'assoluta continuità su tutto \( \mathbb{R} \) è una condizione più forte del chiedere che esista il limite all'infinito sotto l'ipotesi di assoluta continuità locale?
Su questo non so proprio cosa dire, avrei bisogno di qualche lume.
Risposte
"A naso", direi che la formula non ha senso, perché una funzione \(AC(\mathbb{R})\) non è tenuta ad avere limite all'infinito.
Se, però, aggiungi qualche ipotesi di regolarità all'infinito, forse hai qualche chance: infatti:
\[
\int_{\mathbb{R}} f^\prime\ g\ \text{d} \mathcal{L}^1 = \lim_{r\to -\infty,R\to \infty} \int_r^R f^\prime\ g\ \text{d} \mathcal{L}^1 = \lim_{r\to -\infty, R\to \infty} f(R)g(R) - f(r)g(r) - \int_r^R f\ g^\prime\ \text{d} \mathcal{L}^1
\]
per i teoremi del Calcolo.
Se, però, aggiungi qualche ipotesi di regolarità all'infinito, forse hai qualche chance: infatti:
\[
\int_{\mathbb{R}} f^\prime\ g\ \text{d} \mathcal{L}^1 = \lim_{r\to -\infty,R\to \infty} \int_r^R f^\prime\ g\ \text{d} \mathcal{L}^1 = \lim_{r\to -\infty, R\to \infty} f(R)g(R) - f(r)g(r) - \int_r^R f\ g^\prime\ \text{d} \mathcal{L}^1
\]
per i teoremi del Calcolo.
Grazie per la risposta.
Tuttavia, essendo le funzioni assolutamente continue, sicuramente le derivate \( f' \) e \( g' \) sono sommabili su \( \mathbb{R} \). Questo non mi aiuta in nessun modo?
Tuttavia, essendo le funzioni assolutamente continue, sicuramente le derivate \( f' \) e \( g' \) sono sommabili su \( \mathbb{R} \). Questo non mi aiuta in nessun modo?
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