Integrale per parti.....

[Knuckles1]

scusate la banalità di questa domanda... ma come risolvete per parti questo integrale:

$\int(log(1+x))dx$

[roxy3]

ponendo $f=log(x+1)$ e $g'=1$......... la soluzione mi sembra facile...

[Knuckles1]

si ma 1 è anche la derivata di 1+x oltre che di x... se risolvo l'integrale con derive mi da (x+1)log(x+1)-x........

[epsilonquadro]

fai prima la sostituzione x+1=t
allora: dx=dt

$int(log(t)dt)=int((Dt*logt)dt)=tlog(t)-int(t(1/t)dt)=tlog(t)-t+c=(x+1)log(x+1)-(x+1)+c=(x+1)[log(x+1)-1]

Dovrebbe essere giusto
ciao

[Knuckles1]

ma quindi devo sempre fare la sostituzione?

[roxy3]

"roxy":ponendo $f=log(x+1)$ e $g'=1$......... la soluzione mi sembra facile...

$f=log(x+1)$ $f'=1/(x+1)$
$g'=1$ $g=x$


allora avremo $x*log(x+1)-int(x)*(1/(x+1)dx$

$int(x)*(1/(x+1))dx$ sarà $int(x+1-1)/(x+1)dx$

$int(x+1)/(x+1)dx=x+C$.... $-int(1/(x+1))dx=-log(x+1)+C$......

la soluzione finale sarà xlog(x+1)-x+log(x+1)$....
se non ho fatto errori di calcolo... potresti usare le regole dei logaritmi per scrivere la soluzione in un altro modo...

spero che sia chiaro

[roxy3]

"Knuckles":ma quindi devo sempre fare la sostituzione?

ho usato parti come da te richiesto

[Knuckles1]

però il risultato è diverso...

[roxy3]

xlog(x+1)-x+log(x+1)$...
raccogliendo
$log(x+1)(x+1)-x$

[Knuckles1]

scusa ma cosa hai raccolto?

[matemix1]

"Knuckles":scusa ma cosa hai raccolto?

raccoglimento parziale $log(x+1)$

[roxy3]

"roxy":xlog(x+1)-x+log(x+1)$...
raccogliendo
$log(x+1)(x+1)-x$

scusa non l'ho scritto bene:

$xlog(x+1)-x+log(x+1)$ effettuando un raccoglimento parziale si avrà...
$log(x+1)[x+1]-x$

non ho controllato se il risultato è diverso da quello che dici, ma è uguale alla soluzione di derive...

[Knuckles1]

ok perfetto grazie mill!!!

[roxy3]

prego!