Integrale per parti
Ho il seguente integrale $ int (x+1)/x^2 lnx dx $ .
Ho scelto come fattore differenziale la funzione razionale .
Il problema sta nel fatto che :
- se la si considera come somma di due rapporti si ottiene un certo risultato che è quello corretto secondo wolfram
- se invece la consideriamo come un unico rapporto si ottiene un altro risultato errato secondo wolfram.
Domanda: perché?
Ho scelto come fattore differenziale la funzione razionale .
Il problema sta nel fatto che :
- se la si considera come somma di due rapporti si ottiene un certo risultato che è quello corretto secondo wolfram
- se invece la consideriamo come un unico rapporto si ottiene un altro risultato errato secondo wolfram.
Domanda: perché?
Risposte
Fermo restando che il metodo più velocè è quello di spezzare in due la frazione.
quali sono questi due risultati differenti a cui pervieni?
quali sono questi due risultati differenti a cui pervieni?
Ciao pepp1995,
Seguirei il consiglio di M.C.D.... Spezzando in due la frazione si ha:
$int (x+1)/x^2 lnx dx = int frac{ln x}{x} dx + int frac{ln x}{x^2} dx $
Il primo integrale è immediato essendo del tipo $int [f(x)]^{alpha} f'(x) dx = frac{[f(x)]^{alpha + 1}}{alpha + 1} + c $ con $f(x) := ln x $ e $\alpha = 1 $; il secondo lo risolverei per parti considerando come fattore finito $f = ln x $ e come fattore differenziale $dg = 1/x^2 dx $, per cui si ha:
$int frac{ln x}{x^2} dx = - frac{ln x}{x} + int frac{1}{x^2} dx = - frac{ln x}{x} - 1/x + c $
Perciò in definitiva si ha:
[tex]\begin{equation}
\boxed{\int \frac{x + 1}{x^2} \ln x dx = \int \frac{\ln x}{x} dx + \int \frac{\ln x}{x^2} dx = \frac{\ln^2 x}{2} - \frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + c = \frac{x\ln^2 x - 2\ln x - 2}{2x} + c}
\end{equation}[/tex]
Seguirei il consiglio di M.C.D.... Spezzando in due la frazione si ha:
$int (x+1)/x^2 lnx dx = int frac{ln x}{x} dx + int frac{ln x}{x^2} dx $
Il primo integrale è immediato essendo del tipo $int [f(x)]^{alpha} f'(x) dx = frac{[f(x)]^{alpha + 1}}{alpha + 1} + c $ con $f(x) := ln x $ e $\alpha = 1 $; il secondo lo risolverei per parti considerando come fattore finito $f = ln x $ e come fattore differenziale $dg = 1/x^2 dx $, per cui si ha:
$int frac{ln x}{x^2} dx = - frac{ln x}{x} + int frac{1}{x^2} dx = - frac{ln x}{x} - 1/x + c $
Perciò in definitiva si ha:
[tex]\begin{equation}
\boxed{\int \frac{x + 1}{x^2} \ln x dx = \int \frac{\ln x}{x} dx + \int \frac{\ln x}{x^2} dx = \frac{\ln^2 x}{2} - \frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + c = \frac{x\ln^2 x - 2\ln x - 2}{2x} + c}
\end{equation}[/tex]
"M.C.D.":
Fermo restando che il metodo più velocè è quello di spezzare in due la frazione.
quali sono questi due risultati differenti a cui pervieni?
Considero $(x+1)/x^2 $ come fattore differenziale . Quindi integrando per parti avrò: $log^2x - int logx 1/x dx $
e quindi il risultato è $ 1/2 log^2x +c$
Invece considerando $1/x +1/x^2$ come fattore differenziale , il risultato è $1/2 ln^2x −1/x(lnx+1)+c$
"pepp1995":
[quote="M.C.D."]Fermo restando che il metodo più velocè è quello di spezzare in due la frazione.
quali sono questi due risultati differenti a cui pervieni?
Considero $(x+1)/x^2 $ come fattore differenziale . Quindi integrando per parti avrò: $log^2x - int logx 1/x dx $
e quindi il risultato è $ 1/2 log^2x +c$
Invece considerando $1/x +1/x^2$ come fattore differenziale , il risultato è $1/2 ln^2x −1/x(lnx+1)+c$[/quote]
Ma scegliendo $(x+1)/x^2 $ come fattore differenziale (giusto per complicarci la vita XD), la regola per parti non da: $log^2x - int logx 1/x dx $
bensi':
$ log(x)*(log(x) - 1/x) - int (log(x) -1/x)*1/x dx$
che risolto ci riporta alla soluzione individuata da pilloeffe:
$\frac{x\ln^2 x - 2\ln x - 2}{2x} + c$
Giusto, era una semplice decomposizione in somma (ma cercavo di complicarmi la vita XD)
Grazie mille =)
Grazie mille =)
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