Integrale per parti
Ciao, ho qui il seguente integrale ;
$int x*arccosx dx$ che risolvo per parti, quindi pongo $x$ come fattore differenziale $f(x)$ e $arccosx$ come fattore finito $g'(x)$. Svolgendo ho : $arccosx * x^2/2 -1/2int x^2 / sqrt(1-x^2)$ .
Ora so che praticamente devo aggiungere e sottrarre 1 al numeratore dell'integrale e quindi avrò :
$arccosx*x^2/2 -1/2int (x^2-1) / (sqrt(1-x^2)) + 1/2int 1 / sqrt(1-x^2)$ . Arrivati qui non so come procedere, so solo che il secondo integrale corrisponde ad un $arcsenx$, mentre per il primo?
Grazie!
$int x*arccosx dx$ che risolvo per parti, quindi pongo $x$ come fattore differenziale $f(x)$ e $arccosx$ come fattore finito $g'(x)$. Svolgendo ho : $arccosx * x^2/2 -1/2int x^2 / sqrt(1-x^2)$ .
Ora so che praticamente devo aggiungere e sottrarre 1 al numeratore dell'integrale e quindi avrò :
$arccosx*x^2/2 -1/2int (x^2-1) / (sqrt(1-x^2)) + 1/2int 1 / sqrt(1-x^2)$ . Arrivati qui non so come procedere, so solo che il secondo integrale corrisponde ad un $arcsenx$, mentre per il primo?
Grazie!
Risposte
$\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}= \sqrt{1-x^2}$
"Bremen000":
$\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}= \sqrt{1-x^2}$
Che stupido, non ci ho fatto minimamente caso. Comunque quando l'integrale si spezza bisogna pezzare anche $1/2$? diventando così $1/4$ giusto?
No il coefficiente davanti all'integrale va posto davanti ad entrambi, quindi;
$-1/2*x^2/sqrt(1-x^2)=1/2[sqrt(1-x^2)-1/(sqrt(1-x^2))]$
$-1/2*x^2/sqrt(1-x^2)=1/2[sqrt(1-x^2)-1/(sqrt(1-x^2))]$
Non so se ho capito bene.... tu quando spezzi intendi $-\frac{1}{2} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{2} \frac{-x^2+1-1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{2} \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} -frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, c'è qualche errore di conto in effetti..
"Bremen000":
Non so se ho capito bene.... tu quando spezzi intendi $-\frac{1}{2} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{2} \frac{-x^2+1-1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{2} \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} -frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, c'è qualche errore di conto in effetti..
Come hai scritto tu mi trovo (infatti l'avevo scritto già sopra) , solo che nella soluzione mi porta che deve venire un $1/4$ che moltiplica tutto
"Salivo44":
Come hai scritto tu mi trovo (infatti l'avevo scritto già sopra) , solo che nella soluzione mi porta che deve venire un $1/4$ che moltiplica tutto
No in realtà ci sono dei segni differenti, controlla! I calcoli fin dove sei arrivato sono corretti, prova a terminarlo e se non viene, metti i passaggi!
"Bremen000":
Non so se ho capito bene.... tu quando spezzi intendi $-\frac{1}{2} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{2} \frac{-x^2+1-1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{2} \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} -frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, c'è qualche errore di conto in effetti..
Si intendo proprio questo...
Comunque ora posto la soluzione e ti dico da dove esce fuori $1/4$...A tra poco
Allora l'unico problema è sull'integrale $int sqrt(1-x^2)dx$, questo integrale ci permette di applicare la sostituzione $sent=x,dx=costdt$ ora l'integranda si trasforma così $costsqrt(1-sen^2(t))=cos^2(t)=1/2cos(2t)+1/2$.
Ora integriamo separatamente le due parti $1/2intcos(2t)dt+1/2intdt=1/2intcos(u)du+t/2=1/2sen(2t)+t/2$
Ho utlizzato una semplice sostituzione nel primo integrale, adesso ritorniamo alla variabile $t=arcsenx$.
Perciò abbiamo $sen(t)cos(t)=sen(2t), sen(t)(1-sen^2(t))+t/2$ applicando la sostituzione $xsqrt(1-x^2)+1/2arcsen(x)$.
Infine moltiplichiamo per la costante $1/2$,
$1/2[xsqrt(1-x^2)+1/2arcsen(x)]$, ora se sommi ai due termini che avevamo già ti verrà, $1/4[arcsen(x)+2x^2arccos(x)-xsqrt(1-x^2)]$.
Spero che con questa spiegazione tu possa capire meglio...Ciaoo
Ora integriamo separatamente le due parti $1/2intcos(2t)dt+1/2intdt=1/2intcos(u)du+t/2=1/2sen(2t)+t/2$
Ho utlizzato una semplice sostituzione nel primo integrale, adesso ritorniamo alla variabile $t=arcsenx$.
Perciò abbiamo $sen(t)cos(t)=sen(2t), sen(t)(1-sen^2(t))+t/2$ applicando la sostituzione $xsqrt(1-x^2)+1/2arcsen(x)$.
Infine moltiplichiamo per la costante $1/2$,
$1/2[xsqrt(1-x^2)+1/2arcsen(x)]$, ora se sommi ai due termini che avevamo già ti verrà, $1/4[arcsen(x)+2x^2arccos(x)-xsqrt(1-x^2)]$.
Spero che con questa spiegazione tu possa capire meglio...Ciaoo
Perfetto, ora mi è tutto più chiaro! Ti ringrazio!
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