Integrale per parti

[Shika93]

Devo calcolare $\int_{\RR}^{} x^2e^{-x^2}dx$ ma non mi torna $\sqrt \pi/2$ ma $2\sqrt \pi$.
E' da risolvere due volte per parti, no?

[Berationalgetreal]

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 e^{-x^2} \ \text{d} x = -\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} x \ \text{d} \left (e^{-x^2} \right) = \underbrace{\left [-\frac{1}{2} x e^{-x^2} \right ]_{-\infty}^{+\infty}}_{{} = 0} +\frac{1}{2} \underbrace{ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \ \text{d} x}_{{} = \sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} $$

[Shika93]

Perchè il $-1/2$ sul primo passaggio che moltiplica l'integrale?
Se ho $\int f'g=fg-\int fg'$ e scelgo $g=x^2$ e $f'=e^(-x^2)$ non mi torna. $[x^2 (\int_(-\infty)^(\infty) e^(-x^2)dx)]_(-\infty)^(\infty) -\int_(-\infty)^(\infty) (\int_(-\infty)^(\infty) e^(-x^2)dx)2x dx$

se prendo $f'=x^2$ e $g=e^(-x^2)$ neanche. $[x^3/3 e^(-x^2)]_(-\infty)^(\infty)-\int_(-\infty)^(\infty) -2x^3e^(-x^2) dx$

[Berationalgetreal]

Per la regola della catena:

$$ \frac{ \text{d} \left(e^{-x^2} \right)}{\text{d} x} = e^{-x^2} \left(-2x \right) \qquad \clubsuit $$

Quindi, fai in modo di ottenere nell'integrale che devi risolvere proprio [tex]\clubsuit[/tex], così da prenderlo come $f'$ nella notazione che hai usato tu. $g$ quindi sarà uguale ad $x$. Il motivo di questa scelta è che [tex]\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \ \text{d} x[/tex] è noto, e la derivata di $x$ è $1$. È un modo classico di usare l'integrazione per parti.

[Shika93]

Ho capito. Non riuscivo ad integrarlo questo. Ti ringrazio.