Integrale particolare di una equazione differenziale
Salve ragazzi, avrei bisogno di una delucidazione teorica.
Ho un dubbio su equazioni differenziali del secondo grado del tipo:
$y'm +a y' + y = e^(alphax)$
Ho qualche dubbio sull'integrale generale.
Nel caso in cui la radice del polinomio caratteristico dell'omogenea associata corrisponde proprio ad $alpha$, so che l'integrale particolare è del tipo $y = Ax^he^(alphax)$ con $h$ che è la molteplicità della radice del polinomio caratteristico.
Ora, il mio dubbio è: nel caso in cui $alpha$ non corrisponde alla radice del polinomio caratteristico ma ho comunque una molteplicità $2$, come scrivo l'integrale generale ? Vi ringrazio.
Ho un dubbio su equazioni differenziali del secondo grado del tipo:
$y'm +a y' + y = e^(alphax)$
Ho qualche dubbio sull'integrale generale.
Nel caso in cui la radice del polinomio caratteristico dell'omogenea associata corrisponde proprio ad $alpha$, so che l'integrale particolare è del tipo $y = Ax^he^(alphax)$ con $h$ che è la molteplicità della radice del polinomio caratteristico.
Ora, il mio dubbio è: nel caso in cui $alpha$ non corrisponde alla radice del polinomio caratteristico ma ho comunque una molteplicità $2$, come scrivo l'integrale generale ? Vi ringrazio.
Risposte
"Mr.Mazzarr":
Ora, il mio dubbio è: nel caso in cui $alpha$ non corrisponde alla radice del polinomio caratteristico ma ho comunque una molteplicità $2$, come scrivo l'integrale generale ? Vi ringrazio.
Ma una molteplicità due di che????
Della radice ciampax.
Vorrei sapere qual è l'integrale generale di equazioni del tipo $y'' + 2y' + y = e^x$.
Io suppongo sia semplicemente $Ae^x$.
Mentre se avessi avuto due radici distinte con molteplicità 1 ed una di queste radice fosse stata proprio $alpha = 1$, avrei avuto $Axe^x + Be^x$.
Vorrei sapere qual è l'integrale generale di equazioni del tipo $y'' + 2y' + y = e^x$.
Io suppongo sia semplicemente $Ae^x$.
Mentre se avessi avuto due radici distinte con molteplicità 1 ed una di queste radice fosse stata proprio $alpha = 1$, avrei avuto $Axe^x + Be^x$.
sì,un integrale particolare è del tipo $y=Ae^x$
Sì, ok, ma io non capito il senso della domanda. Se la $\alpha$ nell'esponente è radice del polinomio caratteristico, allora, ok, devi farti tutti i ragionamenti.
Ma se la $\alpha$ non lo è, radice, che te frega?
Ma se la $\alpha$ non lo è, radice, che te frega?
eh no,conta
prova a risolvere la stessa equazione differenziale mettendo al secondo membro $e^(-x)$
prova a risolvere la stessa equazione differenziale mettendo al secondo membro $e^(-x)$
No stormy, non hai capito cosa intendo. Lui faceva la domanda relativa al fatto che, avendo $e^{\alpha x}$ come termine noto, se allora nell'omogenea si presenta tale termine, la particolare deve essere scelta facendo attenzione alla molteplicità.
Poi però dice: "e se $\alpha$ non è una soluzione", per cui ripeto, che te frega?
Lì applichi il teorema di similitudine e scegli la soluzione della forma $y=A e^{\alpha x}$ come gli hai già detto tu.
Ripeto: secondo me è mal posta la domanda.
Poi però dice: "e se $\alpha$ non è una soluzione", per cui ripeto, che te frega?
Lì applichi il teorema di similitudine e scegli la soluzione della forma $y=A e^{\alpha x}$ come gli hai già detto tu.
Ripeto: secondo me è mal posta la domanda.
ah,ok,ok
Volevo solo una conferma sul fatto che se non c'è alcuna radice corrispondente con $alpha$ allora l'integrale particolare è sempre del tipo $Ae^x$, a prescindere dalla molteplicità della radice in questione. Tutto qua.
Devo risolvere questo esercizio:
"Stabilire se $f(x)=xe^x$ risolve una o più delle seguenti equazioni differenziali:
- $y"-y=0$
- $y"-2y'+y=0$
- $y"+2y'+y=0$
Considerando che nel primo caso le radici del polinomio sono $-1$ e $1$ direi che è uno dei risultati dell'esercizio.
Nel secondo caso invece la radice $1$ ha doppia molteplicità, quindi non è risolta dalla funzione data.
Nel terzo caso invece la radice $1$ non è radice del polinomio caratteristico ergo anche qui la funzione data non risolve l'equazione differenziale.
Cosa ne dite ? Ragionamento e procedimento corretto ?
"Stabilire se $f(x)=xe^x$ risolve una o più delle seguenti equazioni differenziali:
- $y"-y=0$
- $y"-2y'+y=0$
- $y"+2y'+y=0$
Considerando che nel primo caso le radici del polinomio sono $-1$ e $1$ direi che è uno dei risultati dell'esercizio.
Nel secondo caso invece la radice $1$ ha doppia molteplicità, quindi non è risolta dalla funzione data.
Nel terzo caso invece la radice $1$ non è radice del polinomio caratteristico ergo anche qui la funzione data non risolve l'equazione differenziale.
Cosa ne dite ? Ragionamento e procedimento corretto ?
Nel primo caso la soluzione generale è $c_1 e^x+c_2 e^{-x}$, per cui la funzione $f$ non è soluzione (basta tra l'altro eseguire la derivata seconda per convincersene)
Il secondo caso, invece, è l'unico per cui tale funzione è soluzione: infatti la soluzione generale si scrive $(c_1+c_2 x)e^x$.
Nel terzo, le soluzioni sono entrambe pari a $-1$ e quindi tale esponenziale non viene neanche contemplato.
Il secondo caso, invece, è l'unico per cui tale funzione è soluzione: infatti la soluzione generale si scrive $(c_1+c_2 x)e^x$.
Nel terzo, le soluzioni sono entrambe pari a $-1$ e quindi tale esponenziale non viene neanche contemplato.
Giusto.
Perchè nel secondo caso è l'unico caso in cui ''compare'' appunto $xe^x$.
Grazie ciampax.
Perchè nel secondo caso è l'unico caso in cui ''compare'' appunto $xe^x$.
Grazie ciampax.
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