Integrale particolare di eq.differenziali

[ninja986]

Vorrei sapere come si applica il metodo di lagrange..Cosa devo fare quando,trovato l'integrale generale, devo passare all'integrale particolare..vi prego..spiegatemi i passaggi

[Paolo902]

mmm vedo parecchia confusione... cosa vuol dire "passare dall'integrale gen a quello particolare"?

Rivedi quello che hai scritto... Paolo

[Paolo902]

Data un'equazione differenziale ordinaria, di ordine n, si dice integrale generale l'insieme di funzioni che sostituite al posto della $y$ e delle sue prime n-derivate, trasformano l'equazione in identità.

Si dice invece integrale particolare di un'ODE una funzione che rispetta alcune condizioni iniziali (dette normalmente condizioni al contorno) e che, ovviamente rende l'equazione un'identità.
In altre parole, l'integrale particolare nasce dalla risoluzione di un'ODE a cui vanno aggiunte alcune condizioni: in Analisi, ciò prende il nome di Problema di Cauchy.

Per esempio:

$y'+y=x$ è un'equazione differenziale ordinaria (lineare) che ammette come integrale generale l'insieme delle funzioni scrivibili come $y=x-1+ce^-x$. Un'integrale particolare potrebbe essere $y=x-1+e^-x$ ($c=1$) o ancora $y=x-1$ ($c=0$).

Un problema di Cauchy conduce sempre ad un integrale particolare: considera, per esempio, ${[y'+3y=0],[y(0)=2]:}$. Vuol dire andare a trovare tutte le funzioni che soddisfano l'ODE, ma poi considerare soltanto quella che passa per il punto $P(0,2)$.

Spero di essere stato chiaro e utile.

Saluti,

Paolo