Integrale particolare della completa nelle EDO di ordine n

[calolillo]

In vista dell'esame orale di analisi 2, stavo dando un'occhiata agli appunti di un amico riguardo la risoluzione delle equazioni differenziali (EDO=equazioni differenziali ordinarie)...tuttavia ho visto che manca una parte della teoria e stavo cercando di ricostruirla, e mi chiedevo se mi poteste dare una mano. Stiamo parlando di risoluzione di equazioni differenziali di ordine $n$.
Per quanto riguarda la ricerca delle soluzioni dell'omogenea tutto fila liscio in quanto la teoria coincide con quella presente su questo stesso sito tra gli appunti di analisi 2 (tramite l'utilizzo dell'equazione caratteristica $\lambda^n+\alpha_1\lambda^(n-1)+...+\alpha_n=0$). Al momento della ricerca della soluzione particolare della completa gli appunti si interrompono. Ecco dove:
"Determiniamo un integrale particolare di un'equazione del tipo $y^((n))+\alpha_1y^((n-1))+...+\alpha_ny=\beta(x)$ con $\beta(x)=e^(ax)(P(x)cos(bx)+Q(x)sen(bx))$ con $a,binRR$ e $P,Q$ polinomi in $x$ di grado rispettivamente $p$ e $q$
Distinguiamo due casi:
i) Se $\lambda_\star=a\pmib$ non è soluzione dell'equazione caratteristica, allora un integrale particolare della completa è del tipo:
$z(x)=e^(ax)(T(x)cos(bx)+H(x)sen(bx))$ ove $T$ e $H$ sono polinomi da determinare di grado $h=max{p,q}$
ii) Se $\lambda_\star=a\pmib$ è soluzione dell'equazione caratteristica, allora un integrale particolare della completa è del tipo:
$t(x)=x^sz(x)$ dove $s$ è la molteplicità di $\lambda_\star$."

Qui terminano gli appunti, ovviamente mi vien da chiedere, chi è $z(x)$? il metodo sembra diverso da quello presentato su questo sito, detto "degli annichilatori". Qualcuno riuscirebbe a espormi quest'altro metodo completando la teoria mancante? Ve ne sarei immensamente grato.

[Mathcrazy]

Semplicemente

Data l'equazione: $y^((n))+\alpha_1y^((n-1))+...+\alpha_ny=\beta(x)$ con $a,binRR$ e $P,Q$ polinomi in $x$ di grado rispettivamente $p$ e $q$ e dove il termine noto $\beta(x)=e^(ax)(P(x)cos(bx)+Q(x)sen(bx))$

Abbiamo due casi:

i) Se $\lambda_\star=a\pmib$ non è soluzione dell'equazione caratteristica, allora un integrale particolare della completa è del tipo:
$e^(ax)(T(x)cos(bx)+H(x)sen(bx))$ dove $T$ e $H$ sono polinomi con il grado più alto tra $P$ e $Q$ e a coefficienti incogniti.

Cioè ad esempio se $P$ è di grado $2$ mentre $Q$ di grado $1$, si sceglie il grado di $P$, cioè $2$ che è il maggiore e si considerano i polinomi:
$T(x)= Ax^2+Bx+C$ e
$H(x)= Dx^2+Ex+F$

ii) Se $\lambda_\star=a\pmib$ è soluzione dell'equazione caratteristica con molteplicità $k$, allora un integrale particolare della completa è del tipo:
$x^k *(e^(ax)(T(x)cos(bx)+H(x)sen(bx)))$.

Cioè la stessa quantità di prima, però si aggiunge $x^k$.


NB. Questo metodo è più restrittivo rispetto al metodo di Lagrange, perché si suppone che il termine noto sia del tipo su specificato, cioè:

$\beta(x)=e^(ax)(P(x)cos(bx)+Q(x)sen(bx))$

[calolillo]

Intanto ti ringrazio per la risposta, però vorrei fare giusto un paio di domande per chiarire un po' il metodo applicato:

"Mathcrazy":
Cioè ad esempio se $T$ è di grado $2$ mentre $H$ di grado $1$, si sceglie il grado di $T$, cioè $2$ che è il maggiore e si considerano i polinomi:
$T(x)= Ax+B$ e
$Q(x)= Cx+D$

ma in questo caso $T$ e $Q$ non sono di primo grado? E non di secondo che è il $max{1,2}$...in ogni caso,
1. come faccio a determinare nel caso i) $A$,$B$,$C$ e $D$ e nel caso ii) $T$ e $H$?
2. Questo metodo ha un nome?
3. Dove potrei trovare secondo te qualche esempio?

Dunque...per risolvere una equazione differenziale del tipo $y^((n))+\alpha_1y^((n-1))+...+\alpha_ny=\beta(x)$, nel caso più generale in cui $\beta(x)=e^(ax)(P(x)cos(bx)+Q(x)sen(bx))$ mi basta sommare algebricamente la soluzione dell'omogenea a $z(x)$? Dove $z(x)$ è una delle due funzioni viste nei casi i) e ii)

[Mathcrazy]

"Mathcrazy":
Cioè ad esempio se $T$ è di grado $2$ mentre $H$ di grado $1$, si sceglie il grado di $T$, cioè $2$ che è il maggiore e si considerano i polinomi:
$T(x)= Ax+B$ e
$Q(x)= Cx+D$

Avevo sbagliato a scrivere le lettere :
Volevo dire:

i) Se $\lambda_\star=a\pmib$ non è soluzione dell'equazione caratteristica, allora un integrale particolare della completa è del tipo:
$e^(ax)(T(x)cos(bx)+H(x)sen(bx))$ dove $T$ e $H$ sono polinomi con il grado più alto tra $P$ e $Q$ e a coefficienti incogniti.

Cioè ad esempio se $P$ è di grado $2$ mentre $Q$ di grado $1$, si sceglie il grado di $P$, cioè $2$ che è il maggiore e si considerano i polinomi:
$T(x)= Ax^2+Bx+C$ e
$H(x)= Dx^2+Ex+F$

Facciamo un esempio dai; così ti chiarisci le idee

Abbiamo la seguente equazione differenziale:

$y'' - 4y'+3y=x^2 $ (*)

Prima di tutto, dobbiamo risolvere l'equazione omogenea associata; cioe:

$y'' - 4y'+3y=0$

Per risolverla, consideriamo l'equazione caratteristica:

$ \lambda^2 - 4\lambda+3=0$

si trova facilmente che $\lambda_1 = 1$ e $\lambda_2 = 3$, quindi l'integrale generale dell'omogenea è:

$y_0= c_1*e^x + c_2*e^3x$
______

Ora, dobbiamo passare a trovare la soluzione particolare, con il metodo che ti spiegavo prima:

Ricordiamo che per applicare il metodo suddetto, occorre che il termine noto sia del tipo: $\beta(x)=e^(ax)(P(x)cos(bx)+Q(x)sen(bx))$, se così non fosse non potremmo usare quel metodo.

In questo caso, possiamo usarlo, infatti il termine noto, cioè $x^2$, possiamo scriverlo come:

$ x^2= e^(0x)*(x^2*cos0x + x^2*sen0x) $

infatti se svolgi i calcoli ottieni $x^2$, cioè lo abbiamo espresso nella forma $\beta(x)=e^(ax)(P(x)cos(bx)+Q(x)sen(bx))$.

Il metodo, ora ci dice, di controllare se $a+-ib$ è una soluzione dell'equazione caratteristica.

Cosa è $a+-ib$?
Ricorda che $\beta(x)=e^(ax)(P(x)cos(bx)+Q(x)sen(bx)) = e^(0x)*(x^2*cos0x + x^2*sen0x)$

quindi nel nostro caso:
$a= 0$ e $b=0$.

ma $0+-i0 = 0$ è soluzione dell'equazione caratteristica??

NO, perche le soluzioni dell'equazione caratteristica erano: $\lambda_1 = 1$ e $\lambda_2 = 3$ e non $0$, quindi siamo nel primo caso, che ti riporto:

"Mathcrazy":
i) Se $\lambda_\star=a\pmib$ non è soluzione dell'equazione caratteristica, allora un integrale particolare della completa è del tipo:
$e^(ax)(T(x)cos(bx)+H(x)sen(bx))$ dove $T$ e $H$ sono polinomi con il grado più alto tra $P$ e $Q$ e a coefficienti incogniti.

Quindi il metodo ci dice che una soluzione particolare della completa è del tipo:

$bar(y)= e^(ax)(T(x)cos(bx)+H(x)sen(bx))$, cioè nel nostro caso:

$bar(y) = e^0x*((Ax^2+Bx+C) * cos0x) + e^0x*((Dx^2+Ex+F) * sen0x)$

Perchè al posto di $P$ e $Q$, ho messo polinomi a coefficienti incogniti di $2$ grado??

Semplice perche la teoria ci dice che dobbiamo prendere due nuovi polinomi, con un grado equivalente al maggiore tra $P$ e $Q$.

$P=x^2$ -->>> $2$ grado
$Q=x^2$ -->>> $2$ grado

Quindi il grado maggiore tra i due è banalmente $2$.
Quindi scelgo due nuovi polinomi di grado $2$ e distinti:

$T= Ax^2+Bx+C$
$H=Dx^2+Ex+F$
-------
Se avessimo avuto che sò:
$P=x^3+5$ -->>> $3$ grado
$Q=x^2$ -->>> $2$ grado

Avremmo dovuto scegliere due nuovi polinomi, con il grado maggiore tra $3$ e $2$, cioè ovviamente $3$ quindi avrei preso:
$T= Ax^3+Bx^2+Cx+D$
$H= Ex^3+Fx^2+Gx+H$
------
Quindi abbiamo detto che una soluzione particolare è:

$bar(y) = e^0x*((Ax^2+Bx+C) * cos0x) + e^0x*((Dx^2+Ex+F) * sen0x)$

Ma il $sen(0x)=sen0= 0$ e $e^(0x)=e^0= 1$, quindi:

$bar(y) = Ax^2+Bx+C$..

Il grosso è fatto.

Ora basta calcolare la derivata prima e seconda di $bar(y)$ e sostituirli nella (*)$:

$bar(y)' = 2Ax+B $

$bar(y)'' = 2A$

Sostituiamo:

$2A-8Ax-4B+3Ax^2+3Bx+3C= x^2$

Con il principio di identità dei polinomi ricaviamo:

$A=1/3$
$B=8/9$
$C=14/27$

Quindi $bar(y)= Ax^2+Bx+C = 1/3x^2+8/9x+14/27$ Questa è una soluzione particolare della completa.

Per finire; ti ricordo che la soluzione generale della completa è data dalla somma della soluzione particolare della completa con la soluzione genrale dell'omogenea che abbiamo prima trovato, cioè:

$y(x)= 1/3x^2+8/9x+14/27 + c_1*e^x + c_2*e^3x$

Fine !

Ti è chiaro ora come si usa quel metodo?

[calolillo]

Sei stato veramente veramente chiaro. Grazie mille
Ti devo un caffè...se mai dovessimo vederci

[ingegnerino]

ciao rispondo a questa discussione perchè è quelle che forse si avvicina di piu tra quelle che ho letto

volevo sapere come si arriva a determinare l'integrale generale, o meglio la dimostrazione che ci porta partendo da un'equazione differenziale omogenea di grado n, all'integrale generale del tipo $ C+e^{aX}+... $
se esiste il procedimento che ci fa arrivare alla solita regoletta che applichiamo meccanicamente

grazie