Integrale particolare

[indovina]

Sto ripetendo gli integrali e ho trovato questo:

$\int((x)/(x^2-2x+3))dx$

il risultato è: $Logsqrt(x^2-2x+3)+(1/(sqrt(2)))*arctg((x-1)/sqrt(2))$

Ora ciò che ho notato è.

Se moltiplico per $2$ e divido per $1/2$ mi viene proprio $(1/2)*Log(x^2-2x+3)=Logsqrt(x^2-2x+3)$

Se vedo il denominatore il determinante è negativo, e posso riscriverlo come: $((x-1)^2)+2$

cosi scrivendo risolverei come: $(1/(sqrt(2)))*arctg((x-1)/sqrt(2))$

Ma in entrambi i casi avrei risultati 'spezzati'

Come mai?

Come posso generalizzare questo esercizio? (perchè ho notato che in altri due esercizi faccio lo stesso ragionamento, ma niente...)

[*pizzaf40]

"clever":
Se moltiplico per $2$ e divido per $1/2$ mi viene proprio $(1/2)*Log(x^2-2x+3)=Logsqrt(x^2-2x+3)$

$1/2(d[Log(x^2-2x+3)])/(dx)=1/2((2x-2)/(x^2-2x+3))=(x-1)/(x^2-2x+3)$

che è diverso da quello di partenza per la presenza del $-1$.

"clever":
Se vedo il denominatore il determinante è negativo, e posso riscriverlo come: $((x-1)^2)+2$

cosi scrivendo risolverei come: $(1/(sqrt(2)))*arctg((x-1)/sqrt(2))$

$(d[1/sqrt(2)arctg((x-1)/sqrt(2))])/(dx)=1/sqrt(2)*1/(1+((x-1)/sqrt(2))^2)=1/sqrt(2)*2/((x-1)^2+2)$

e pure questo è diverso da quello di partenza, soprattutto per la mancanza della $x$.

Ma soprattutto la loro somma non da come risultato l'integrale di partenza che dovevi risolvere!
Infatti è:

$int(x)/(x^2-2x+3)dx=1/2 int(2x)/(x^2-2x+3)dx=1/2 int ((2x-2)/(x^2-2x+3)+2/((x-1)^2+2))dx=1/2 log(x^2-2x+3)+2/2 int 1/(((x-1)/sqrt(2))^2+1) dx=log sqrt(x^2-2x+3) +arctg((x-1)/sqrt(2))$

cioè un coefficiente era sbagliato.

[indovina]

Benissimo xD
Ho sbagliato tutto.
Qual è quindi la strada più intuitiva per questo esercizio?

[*pizzaf40]

Ma in realtà non era sbagliatissima la soluzione, solo che probabilmente ti sei sbagliato nel riportare qualche costante tale che ti è venuto un $sqrt(2)$ che non doveva esserci.

Le osservazioni che facevi invece erano dovute immagino solo a poca attenzione, ed alla similarità dei risultati delle singole parti (alla fine è solo una $x$ al numeratore che cambiava tra una e l'altra, ma evidentemente cambiava tutto)

[indovina]

Capito questo, come posso risolverlo?
Praticamente parlando, quale metodo devo usare in generale con questi esercizi?

[*pizzaf40]

Inoltre, se ti può consolare, ieri in un esame ho ho sbagliato un integrale per parti proprio con un $sqrt(2)$ che non doveva esserci...il mio era a numeratore però...magari è per compensazione del tuo al denominatore...una congiunzione astrale

Però almeno era un errore nel punto secondario di un esercizio su 3...quindi alla fine è andata onestamente

[indovina]

xD bene, si mi ''consola''.
Cercherò di non fare di questi errori nel mio compito.
Grazie!