Integrale particolare

[Aletzunny1]

$\int_{E} min(1,1/sqrt(x^2+y^2) )dxdy$

$E={x>=0;y>=0;x^2+y^2-2x<=0}$

Ho disegnato l'insieme $E$ e fino qui tutto ok!

Ora però non riesco a capire come rappresentare e calcolare il $min(1,1/sqrt(x^2+y^2))$ e già qui è un problema;

inoltre ho provato a rendere $E$ in coordinate polari ottenendo
$E={rho*cos(theta);rho*sin(theta);rho<=2cos(theta)}$
da cui deduco solo che
$theta in [0;pi/2]$ e
$\int_{E} (min(1,1/rho )*rho) dxdy$

Qualcuno può aiutarmi a capire come ragionare su questo integrale particolare e come agire per ottenere le condizioni su $theta$ e $rho$?

Grazie

[pilloeffe]

Ciao Aletzunny,

Occhio che l'insieme $E' $ l'hai scritto male, così come anche l'ultimo integrale:

$ E'={(\rho, \theta) \in \RR^2 : \rho cos\theta >= 0, \rho sin\theta >= 0, \rho <= 2cos\theta} $

$\int_{E'} (min(1,1/\rho )) \rho \text{d}\rho \text{d}\theta $

Se tieni presente che $0 <= \rho <= 2cos\theta $ e $\theta \in [0, \pi/2] $, dovresti riuscire a capire quando si ha $min(1, 1/\rho) = 1 $ e quando invece si ha $min(1, 1/\rho) = 1/\rho $

[Aletzunny1]

"pilloeffe":Ciao Aletzunny,

Occhio che l'insieme $E' $ l'hai scritto male, così come anche l'ultimo integrale:

$ E'={(\rho, \theta) \in \RR^2 : \rho cos\theta >= 0, \rho sin\theta >= 0, \rho <= 2cos\theta} $

$\int_{E'} (min(1,1/\rho )) \rho \text{d}\rho \text{d}\theta $

Se tieni presente che $0 <= \rho <= 2cos\theta $ e $\theta \in [0, \pi/2] $, dovresti riuscire a capire quando si ha $min(1, 1/\rho) = 1 $ e quando invece si ha $min(1, 1/\rho) = 1/\rho $

Non ho ben capito una cosa...

L'insieme $E'$ scritto da me perché è sbagliato oppure perché ho saltato $>=$ ?

Inoltre dunque il $min(1,1/rho$ potrei determinarlo come se fosse il $min(1,1/x)$ ...ma non capisco come determinare le condizioni sia su $rho$ che su $theta$ a partire da $E'$

[pilloeffe]

Innanzitutto rispondi col pulsante RISPONDI e non col pulsante " CITA: salvo rare eccezioni, non è necessario citare tutto il messaggio di chi ti ha risposto e si appesantisce inutilmente la lettura del post...

"Aletzunny":L'insieme $E'$ scritto da me perché è sbagliato oppure perché ho saltato $ >= $ ?

L'insieme che hai scritto è sbagliato perché non hai scritto $>= 0 $ sia nel primo che nel secondo termine che definiscono l'insieme: non è una cosa da poco...
Quanto al resto che hai scritto è sbagliato perché non vedo alcun filo logico. Prova a ragionare: posto che naturalmente sia $1$ che $1/\rho$ sono quantità positive, quand'è che $1/\rho < 1 \iff \rho > 1 $? Ricorda che $ 0 <= \rho <= 2cos\theta $, quindi se $0 < \rho < 1 \implies 1/rho > 1 $, mentre se $1 <= \rho <= 2 \implies 1/\rho <= 1 $ (nota che il valore massimo di $\rho $ che è $2$ si ottiene per $\theta = 0 $). Per quale valore di $\theta $ si ottiene $\rho = 1$?

[Aletzunny1]

Fatico ancora a capire del tutto però sotto alcuni dati ci sono quasi...

Per trovare $rho=1$ devo porre $theta=pi/3$ giusto?

[pilloeffe]

Esatto, quindi per $0 <= \theta <= \pi/3 $ si ha $1 <= \rho <= 2 $, mentre per $\pi/3 < \theta <= \pi/2 $ si ha $ 0 <= \rho < 1 $

[Aletzunny1]

Quindi devo risolvere $\int_0^(pi/3) int_1^2 (1/rho*rho) d(rho)d(theta)$
E a tale risultato sommare

$\int_(pi/3)^(pi/2) int_0^1 (1*rho) d(rho)d(theta)$

Ho capito bene?

[gugo82]

Facendo un disegno si capiscono molte cose.
Il dominio $E$ è un cerchio chiuso di centro $(1,0)$ e raggio $1$, mentre la funzione integranda è $=1$ nei punti $(x,y)$ che hanno distanza $rho$ da $(0,0)$ minore o uguale ad $1$ ed è $=1/sqrt(x^2 + y^2)=1/rho$ se la distanza $rho$ da $(0,0)$ è maggiore od uguale ad $1$.
Dunque:
[asvg]xmin=-1; xmax=2; ymin=-1; ymax=2;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="red"; fill="yellow";
arc([2,0],[0,0],1); line([0,0],[2,0]);
fill="none"; stroke="dodgerblue";
circle([0,0],1);
text([0.5,0.33],"f(x,y) = 1"); text([1.5,0.33],"f(x,y)=1/ρ");[/asvg]
Scrivere tutto in polari con polo in $(0,0)$ non sembra difficile.
In particolare, tenendo presente che il punto d'intersezione delle circonferenze rossa ed azzurra ha anomalia $pi/3$ (per motivi geometrici: il triangolo che ha i vertici "bassi" nei centri ed il vertice "alto" nel punto è equilatero) e tenendo presente che l'equazione della circonferenza rossa in polari è $rho = 2 cos theta$, hai:
\[
\iint_E f(x,y)\ \text{d} x \text{d} y = \int_0^{\pi/3} \left( \int_1^{2 \cos \theta} \frac{1}{\rho}\ \rho\ \text{d} \rho\right) \text{d} \theta + \int_0^{\pi/3} \left( \int_0^1 1\ \rho\ \text{d}\rho\right) \text{d}\theta + \int_{\pi/3}^{\pi/2} \left( \int_0^{2\cos \theta} 1\ \rho\ \text{d}\rho\right) \text{d} \theta\; .
\]

[Aletzunny1]

Purtroppo non si vede né da pc né da smartphone il disegno che sarebbe utilissimo, soprattutto per capire come rappresentare $1/sqrt(x^2+y^2)$ nel solo piano cartesiano $(x,y)$

Non riesco a capire il perché $1$ che sarebbe il $min(1,1/rho)$ coinvolge più angoli: abbiamo la condizione che $0<=rho<=2cos(theta)$ e che $0<=theta<=pi/2$.
Allora se $0<=theta<=pi/3$ e quindi $1<=rho<=2$ si ha che il min è $1/rho$ mentre se $pi/3<=theta<=pi/2$ e quindi $0<=rho<=1$ si ha che il min è $1$.
Fino a qui ho capito.
Mentre non riesco a capire da dove esce la condizione $pi/3<=theta<=pi/2$ e perché $rho$
debba restare cosi $0<=rho<=2cos(theta)$ implicando poi che il min è $1$.
Potresti aiutarmi?
Grazie

[gugo82]

Strano… I grafici io li vedo ovunque, tranne che su Chrome per dispositivi mobili.
Prova ad usare un altro browser.

[Aletzunny1]

Ho provato ad installare anche Adobe svg viewer ma purtroppo non vedo nulla sia da Chrome sia da Firefox per pc e per smartphone.

Potresti spiegarmi, a questo punto purtroppo senza grafico, perchè è necessario inoltre calcolare l'integrale anche tra $pi/3<=theta<=pi/2$ con $0<=rho<=2cos(theta)$ ?

inoltre rileggendo bene tutta la discussione non ho capito perché tra $0<=theta<=pi/3$ allora $0<=rho<=1$ per quando il $min=1$ mentre per $0<=theta<=pi/3$ allora $1<=rho<=2cos(theta)$ per quando il $min=1/rho$

non l' ho davvero capito e tra poco ho l'esame purtroppo.

grazie

[anto_zoolander]

Perchè sostanzialmente la suddivisione che fai è questa

${ rho cos(theta)>=0, rho sin(theta)>=0, rho<=2cos(theta)}={theta in [0,pi/2],rho<=2cos(theta)}cap({1/rho<=1}cup{1/rho>1})$

quei due integrali li ottieni su ${theta in [0,pi/2],rho<=2cos(theta)}cap{1/rho>1}$

infatti ottieni che deve essere $rho a questo punto dividi ancora una volta l'insieme nei punti dove $2cos(theta)<=1$ e $2cos(theta)>1$. Vedrai che ti usciranno quei due integrali.

[gugo82]

Strano... Io su un dispositivo Android, browser Chrome e tema normale vedo tutto al suo posto.

Ti invio uno screenshot, forse è utile:

[Aletzunny1]

"anto_zoolander":Perchè sostanzialmente la suddivisione che fai è questa

${ rho cos(theta)>=0, rho sin(theta)>=0, rho<=2cos(theta)}={theta in [0,pi/2],rho<=2cos(theta)}cap({1/rho<=1}cup{1/rho>1})$

quei due integrali li ottieni su ${theta in [0,pi/2],rho<=2cos(theta)}cap{1/rho>1}$

infatti ottieni che deve essere $rho a questo punto dividi ancora una volta l'insieme nei punti dove $2cos(theta)<=1$ e $2cos(theta)>1$. Vedrai che ti usciranno quei due integrali.

Perdonami, sono di certo io...ma non ho capito nulla; rendo l'insieme $E$ in coordinate polari e la funzione in coordinate polari e fino a lì ci sono!

Poi questo
${ rho cos(theta)>=0, rho sin(theta)>=0, rho<=2cos(theta)}={theta in [0,pi/2],rho<=2cos(theta)}cap({1/rho<=1}cup{1/rho>1})$
L'ho capito ma ora non riesco a comprendere il ragionamento dopo, cioè ${theta in [0,pi/2],rho<=2cos(theta)}cap{1/rho>1}$ perché esclude $(1/rho)<=1$ ?

Infine perché poi si deve inoltre vedere 2cos(theta)<=1$ e $2cos(theta)>1$ ?

Cioè non mi è chiaro per nulla come agire in questo integrale

[Aletzunny1]

"gugo82":Strano... Io su un dispositivo Android, browser Chrome e tema normale vedo tutto al suo posto.

Ti invio uno screenshot, forse è utile:

Grazie, con il tema normale solo da pc si vede!

[gugo82]

A complemento del disegno precedente, i tre settori in cui ho calcolato gli integrali:
\[ \iint_E f(x,y)\ \text{d} x \text{d} y = {\color{orange}\int_0^{\pi/3} \left( \int_1^{2 \cos \theta} \frac{1}{\rho}\ \rho\ \text{d} \rho\right) \text{d} \theta} + {\color{royalblue}\int_0^{\pi/3} \left( \int_0^1 1\ \rho\ \text{d}\rho\right) \text{d}\theta} + {\color{limegreen}\int_{\pi/3}^{\pi/2} \left( \int_0^{2\cos \theta} 1\ \rho\ \text{d}\rho\right) \text{d} \theta}\; . \]
sono quelli evidenziati nella figura che segue:
[asvg]xmin=-1; xmax=2; ymin=-1; ymax=2;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="orange"; fill="orange";
arc([2,0],[0,0],1); line([0,0],[2,0]);
fill="dodgerblue"; stroke="dodgerblue"; arc([1,0], [0.5,0.866], 1); path([[0,0], [1,0], [0.5, 0.866], [0,0]]);
fill="lime"; stroke="lime"; arc([0.5, 0.866], [0,0], 1);[/asvg]

[Aletzunny1]

Grazie, onestamente dal disegno mi vengono ancora più dubbi: non riesco infatti a capire la connessione disegno-valori che corrispondono di $rho$ e $theta$.

Perché, ad esempio, nell'area verde $pi/3<=theta<=pi/2$ e $0<=rho<=2cos(theta)$ ? Mentre invece nell'area blu e arancio c'è lo stesso range $0<=theta<=pi/3$ mentre invece $1<=rho<=2cos(theta)$ e $0<=rho<=1$ ?

Non riesco proprio a capire come devo ragionare per ottenere quei valori e ciò mi preoccupa molto.
Cosa c'è sotto che io non sto comprendendo?