Integrale ostico (almeno per me)

[ostyle]

Salve a tutti....volevo chiedere a chiunque ne sia capace di darmi una mano con la risoluzione di questo integrale....vi sarei molto grato se postaste tutti i procedimenti applicati....grazie anticipatamente

$\int_{1}^{2} ln(x^2-4x+5) dx$

[dissonance]

Qualche tua idea, per favore, anche minima.

[matteomors]

"ostyle":Salve a tutti....volevo chiedere a chiunque ne sia capace di darmi una mano con la risoluzione di questo integrale....vi sarei molto grato se postaste tutti i procedimenti applicati....grazie anticipatamente

$\int_{1}^{2} ln(x^2-4x+5) dx$

Solitamente per l'integrazione di logaaritmi si usa il metodo per parti...

[ObServer]

il mio abbozzo di idea è esprimere il polinomio all'interno del logaritmo come $(x - x_1)(x - x_2)$ con $x_1$ e $x_2$ le radici del polinomio, che così ad occhio temo saranno complesse (ma a noi non ci fanno paura )

a quel punto, potrai esprimere il logaritmo come

$log((x - x_1)(x - x_2)) = log(x - x_1) + log(x - x_2)$ e, per la linearità, spezzare l'integrale iniziale in due integrali ben più semplici; tra l'altro, correggendo il differenziale, dovrai solo esprimere l'integrale di logaritmo, che ti ricordo essere uguale a

$int log(x) dx = xlog(x) - x + c$

[ObServer]

Comunque, mi associo al fatto che un minimo stralcio di idea dovresti sforzarti di metterlo . In effetti aiuta anche te, che poi nello studiare lo svolgimento capisci anche com'è che vengono fuori le idee; aggiungo anche che io non ho provato la mia idea, potrebbe anche non essere corretta. Mi rimetto nelle mani dei colleghi.

MODIFICO per dire che lo avevo scambiato per un integrale indefinito, non mi ero accorto degli estremi di integrazione e chiedo venia, poichè l'integrale, se la mente non mi imbroglia, è improprio. Comunque, trovata la primitiva, potresti tentare un limite di funzione integrale...

[ostyle]

Scusate....è che io uno stralcio di idea ce l'ho....è che volevo vedere se stavo facendo bene....cmq io ho fatto prima per parti in questo modo (ometto gli estremi di integrazione)

$\int ln(x^2-4x+5)dx=xln(x^2-4x+5)-\int x (2x-4)/(x^2-4x+6) dx=$
$=xln(x^2-4x+5)-2\int (x^2-2x)/(x^2-4x+5)dx$

ora faccio la sostituzione: $x=t+2$
e il secondo integrale diventa:
$\int(t^2+2t)/(t^2-1)dt=\int t^2/(t^2-1) dt + \int 2t/(t^2-1) dt$

ora il problema è solo in $\int t^2/(t^2-1) dt$ ....e qui mi sono bloccato....dite che i passaggi precedenti sono giusti?

[strangolatoremancino]

potrebbe essere anche

$int (x^2-2x)/(x^2-4x+5)dx=int (1+(2x-5)/(x^2-4x+5))dx=x + int (2x-4)/(x^2-4x+5)dx - int dx/(x^2-4x+5)=x+ln(x^2-4x+5)- int dx/((x-2)^2+1)$

credo

[ObServer]

Si, in effetti hai avuto l'idea giusta guarda, posso dirti che molti si scontrano col famoso $int x^2/(x^2 - 1) dx$ e io tempo fa lo aveva riaffrontato in uno scontro 1 a 1. Per risolverlo ho fatto così

$x^2/(x^2 - 1) = (x^2 - 1 + 1)/(x^2 - 1) = 1 + 1/(x^2 - 1)$ a questo punto spezzi l'integrale, ed è molto più semplice risolvere $int 1/(x^2 - 1) dx$

io purtroppo devo scappare altrimenti continuerei!

[ostyle]

bè grazie mille allora....