Integrale ostico
questo è tosto:
dimostrare che
$\int_0^{\infty}\frac{sin(\alpha x)}{e^x -1}dx=\alpha\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2 +\alpha^{2}}$.
dimostrare che
$\int_0^{\infty}\frac{sin(\alpha x)}{e^x -1}dx=\alpha\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2 +\alpha^{2}}$.
Risposte
Hai provato a usare l'integrazione per serie?
in che senso scusa?
Mettere al posto del seno la sua serie, ma non lo so, ci sono tante strade possibili, vedendo il risultato mi viene in mente o l'integrazione per serie, o i residui o la trasformata di Fourier.
L'integrazione per serie basta e avanza.
E un caso particolare di:
$int_0^inftysinx/(e^x-t)dx=sum_{n=0}^inftyt^n/(1+(n+1)^2)\ \ \ AAt in [-1,1]$
Per giustificare l'equivalenza é neccessario verificare la sommabilità o in qualche modo fare riferimento alla convergenza dominata.
E un caso particolare di:
$int_0^inftysinx/(e^x-t)dx=sum_{n=0}^inftyt^n/(1+(n+1)^2)\ \ \ AAt in [-1,1]$
Per giustificare l'equivalenza é neccessario verificare la sommabilità o in qualche modo fare riferimento alla convergenza dominata.
per la sommabilità non vedo problemi ovviamente è sommabile l'integrando ma da dove esce la serie?
Ti piazzo il teorema di integrazione per serie, prova a ragionarci un po'.
1) Sia $D sube RR^n$ misurabile e ${f_n}$ una successione di funzioni misurabili su D e q.o. non negative.
Allora $sum_{n in NN} int_Df_ndx=int_D sum_{n in NN}f_ndx$
2) Sia $D sube RR^n$ misurabile e ${f_n}$ una successione di funzioni misurabili su D tali che $sum_{n in NN}|f_n|$ sia sommabile su D.
Allora $sum_{n in NN} int_Df_ndx=int_D sum_{n in NN}f_ndx$
1) discende dalla convergenza monotona e 2) discende dalla convergenza dominata.
Il primo non è applicabile direttamente al tuo caso e devi far riferimento al secondo.
1) Sia $D sube RR^n$ misurabile e ${f_n}$ una successione di funzioni misurabili su D e q.o. non negative.
Allora $sum_{n in NN} int_Df_ndx=int_D sum_{n in NN}f_ndx$
2) Sia $D sube RR^n$ misurabile e ${f_n}$ una successione di funzioni misurabili su D tali che $sum_{n in NN}|f_n|$ sia sommabile su D.
Allora $sum_{n in NN} int_Df_ndx=int_D sum_{n in NN}f_ndx$
1) discende dalla convergenza monotona e 2) discende dalla convergenza dominata.
Il primo non è applicabile direttamente al tuo caso e devi far riferimento al secondo.
allora ho che $sin(\alpha x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
$e^x -1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
ma quando scambio serie ed integrale mi viene un casino
$e^x -1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
ma quando scambio serie ed integrale mi viene un casino
Scegli una delle due. Non sostituire 2 serie, prendine una e l'altro "pezzo" di funzione integranda lo consideri come una costante rispetto all'indice di sommatoria nella serie.
e ricontrolla la serie del seno... mi sa che c'è qualcosa da aggiustare. 
allora considero costante $e^x -1$ e quindi la mia successione di funzioni è $f_n(x)=\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)! (e^x-1}}$
quindi ho che scambiando serie ed integrale:
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\int_0^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{e^x-1}$
giusto?
quindi ho che scambiando serie ed integrale:
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\int_0^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{e^x-1}$
giusto?
Vedi se riesci a ricavarci qualcosa... però continui a dimenticarti la "$alpha$"
si si ovviamente alfa l' ho dimenticata ma tanto la tolgo fuori dall'integrale
Però scusa... io volevo che tu provassi quella strada così da renderti conto di quali fossero i suoi limiti, ma ho provato a fare qualche passaggio e vedo che forse è meglio se ti fidi sulla parola. La sostituzione in serie che hai fatto è corretta ma mi sembra che complichi solo la vita.
Io farei invece la seguente:
$sin(alpha x)/(e^x-1)=sin(alpha x)/e^x1/(1-e^-x)$
ora osservi che nel dominio di integrazione $0
Questa strada dovrebbe essere agevole.
Ricordati che devi verificare che il teorema di integrazione si possa applicare.
Io farei invece la seguente:
$sin(alpha x)/(e^x-1)=sin(alpha x)/e^x1/(1-e^-x)$
ora osservi che nel dominio di integrazione $0
Questa strada dovrebbe essere agevole.
Ricordati che devi verificare che il teorema di integrazione si possa applicare.
l'ho risolto...integrando ripetutamente per parti.
grazie mille
grazie mille
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