Integrale odioso
Ciao ragazzi,
dopo molti anni che utilizzo questo forum come riferimento per sciogliere i miei dubbi, fin dagli anni del liceo, ho deciso che è arrivato il momento di iscrivermi.
Come da titolo, c'è un integrale che mi dà noia:
$\int (1-x^4)/((1+x^2+x^4)sqrt(1+x^4)) dx$
Ho provato con svariate sostituzioni, tipo $t = 1+x^4$, $t^2 = 1 + x^4$ oppure col segno meno tra i due monomi, ma niente, non ne esco. So che come "tentativi" sono praticamente a zero, ma qualche aiutino mi sarebbe molto comodo per schiodarmi da questa situazione di stallo.
Grazie mille!
dopo molti anni che utilizzo questo forum come riferimento per sciogliere i miei dubbi, fin dagli anni del liceo, ho deciso che è arrivato il momento di iscrivermi.
Come da titolo, c'è un integrale che mi dà noia:
$\int (1-x^4)/((1+x^2+x^4)sqrt(1+x^4)) dx$
Ho provato con svariate sostituzioni, tipo $t = 1+x^4$, $t^2 = 1 + x^4$ oppure col segno meno tra i due monomi, ma niente, non ne esco. So che come "tentativi" sono praticamente a zero, ma qualche aiutino mi sarebbe molto comodo per schiodarmi da questa situazione di stallo.
Grazie mille!
Risposte
Benvenuto, e che primo messaggio!
Ma te l'hanno assegnato oppure l'hai trovato su internet? Non è per niente banale e non si fa con sostituzioni standard, piuttosto con manipolazioni algebriche esotiche tipo dividere tutto per $x^2$, farsi uscire dei differenziali completando i quadrati tipo
$$\mathrm{d} \left(x+\frac{1}{x}\right)=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x$$
Comunque, farei così:
$$\int \frac{1-x^4}{(1+x^2+x^4)\sqrt{1+x^4}} \mathrm{d}x=\int \frac{(1-x^2)(1+x^2)}{x^2 \left(1+\frac{1}{x^2}+x^2\right)\sqrt{x^2 \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}} \mathrm{d}x=$$
$$=\int \frac{x \left(-x+\frac{1}{x}\right)x \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^2 \left(2-1+\frac{1}{x^2}+x^2\right) x \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}+2-2}} \mathrm{d}x=\int \frac{\left(x+\frac{1}{x}\right) \left(-x+\frac{1}{x}\right)}{x \left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-1]\right] \sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}} \mathrm{d}x =$$
$$=\int \frac{\left(x+\frac{1}{x}\right) \left(-1+\frac{1}{x^2} \right)}{\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-1\right] \sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}} \mathrm{d}x$$
A questo punto poni
$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}=y \Rightarrow \frac{\left(x+\frac{1}{x}\right) \left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{\sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}} \mathrm{d}x=-\mathrm{d}y$$
Dunque
$$\int \frac{\left(x+\frac{1}{x}\right) \left(-1+\frac{1}{x^2} \right)}{\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-1\right] \sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}} \mathrm{d}x=-\int \frac{\mathrm{d}y}{y^2+1}=-\arctan(y)+c=$$
$$=-\arctan \left[\sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}\right]+c$$
Dove $c\in\mathbb{R}$, ovviamente tutte le manipolazioni e la scelta del segno per il valore assoluto devono essere fatte con attenzione (l'integrale è indefinito però).
Ho saltato qualche passaggio, spero che non ti abbia confuso troppo le idee. Se hai dei dubbi, chiedi pure!
Comunque questi integrali non escono mai, perciò o sei come me che hai un fetish per gli integrali e ti diverte farli oppure fidati che non serve a molto nella vita (neanche nella vita accademica
).
Ma te l'hanno assegnato oppure l'hai trovato su internet? Non è per niente banale e non si fa con sostituzioni standard, piuttosto con manipolazioni algebriche esotiche tipo dividere tutto per $x^2$, farsi uscire dei differenziali completando i quadrati tipo
$$\mathrm{d} \left(x+\frac{1}{x}\right)=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x$$
Comunque, farei così:
$$\int \frac{1-x^4}{(1+x^2+x^4)\sqrt{1+x^4}} \mathrm{d}x=\int \frac{(1-x^2)(1+x^2)}{x^2 \left(1+\frac{1}{x^2}+x^2\right)\sqrt{x^2 \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}} \mathrm{d}x=$$
$$=\int \frac{x \left(-x+\frac{1}{x}\right)x \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^2 \left(2-1+\frac{1}{x^2}+x^2\right) x \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}+2-2}} \mathrm{d}x=\int \frac{\left(x+\frac{1}{x}\right) \left(-x+\frac{1}{x}\right)}{x \left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-1]\right] \sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}} \mathrm{d}x =$$
$$=\int \frac{\left(x+\frac{1}{x}\right) \left(-1+\frac{1}{x^2} \right)}{\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-1\right] \sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}} \mathrm{d}x$$
A questo punto poni
$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}=y \Rightarrow \frac{\left(x+\frac{1}{x}\right) \left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{\sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}} \mathrm{d}x=-\mathrm{d}y$$
Dunque
$$\int \frac{\left(x+\frac{1}{x}\right) \left(-1+\frac{1}{x^2} \right)}{\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-1\right] \sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}} \mathrm{d}x=-\int \frac{\mathrm{d}y}{y^2+1}=-\arctan(y)+c=$$
$$=-\arctan \left[\sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}\right]+c$$
Dove $c\in\mathbb{R}$, ovviamente tutte le manipolazioni e la scelta del segno per il valore assoluto devono essere fatte con attenzione (l'integrale è indefinito però).
Ho saltato qualche passaggio, spero che non ti abbia confuso troppo le idee. Se hai dei dubbi, chiedi pure!
Comunque questi integrali non escono mai, perciò o sei come me che hai un fetish per gli integrali e ti diverte farli oppure fidati che non serve a molto nella vita (neanche nella vita accademica
).
"marmotta97":
qualche aiutino
Sono d'accordo con TeM... E poi ad una ragazza neo-iscritta in difficoltà bisogna rispondere per bene... 
"TeM":
Hai pienamente ragione, ma in casi come questo che aiutino si dà?E' un esercizio (che già chiamarlo esercizio mi fa sorridere) fuori dagli standard, quindi non so, o si mostra la strategia e quindi praticamente si risolve l'esercizio, oppure non saprei proprio come ci si deve comportare in questi casi. Spero si capisca che questo messaggio non vuole avere tono polemico, è proprio un quesito sincero a cui se riceverò istruzioni precise al riguardo cercherò di attenermi. Scusate.
"Riconduci l'integranda alla derivata di arcotangente di \(\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^4}}\right)\)".
Ottima idea, vado a bannarti immediatamente 
[ot]piloeffe sul fatto che ti potessi trovare d'accordo con TeM non ci piove 
[/ot]
@piloeffe,TeM
il mio non voleva essere un richiamo. Una volta che l'utente chiede in maniera esplicita e gentile un aiutino sul come andare avanti, lo accoglierei a braccia aperte
Più che altro, dopo qualche messaggio, se l'utente si sarà mostrato gentile(cosa possibile visto l'esordio) dopo tot. aiuti, lo si può anche aiutare[nota]in maniera globale[/nota] esortandolo a tornare sulla teoria.
Più di me sapete che l'aiuto migliore è quello equivalente a ... click!
[/ot]@piloeffe,TeM
il mio non voleva essere un richiamo. Una volta che l'utente chiede in maniera esplicita e gentile un aiutino sul come andare avanti, lo accoglierei a braccia aperte
Più che altro, dopo qualche messaggio, se l'utente si sarà mostrato gentile(cosa possibile visto l'esordio) dopo tot. aiuti, lo si può anche aiutare[nota]in maniera globale[/nota] esortandolo a tornare sulla teoria.
Più di me sapete che l'aiuto migliore è quello equivalente a ... click!
Innanzitutto grazie per le risposte, anche se mi spiace siano nati dei diverbi. Adesso che vedo i passaggi mi rammarico di non aver scritto una cosa nella richiesta. A fine lezione, il professore di analisi matematica ci ha lasciato questo integrale scritto alla lavagna col titolo "per cuori forti", ma sotto aveva scritto anche una cosa: non sempre l'integrazione per parti o le sostituzioni sono la via più breve. Sinceramente non ci avevo dato molto peso e mi sono fiondata con sostituzioni su sostituzioni. Ora comprendo cosa intendesse e soprattutto cosa volesse insegnarci con questo integrale. Grazie ancora.
@marmotta97: Non ti preoccupare, non ci stiamo mica scannando è normale avere pareri divergenti, l'importante è che si discuta con civiltà.
@anto_zoolander: Hai ragione, nonostante abbia letto la richiesta di aiutino l'ho praticamente filtrata perché ho ragionato esattamente come TeM. Non mi sembrava per nulla sensato dare indizi in un caso così particolare, perciò ho preferito farle vedere un modo di farlo (con le tecniche inusuali che comporta). In futuro proverò a non farlo anche in questi casi e a vedere come si evolverà la situazione
è normale avere pareri divergenti, l'importante è che si discuta con civiltà.@anto_zoolander: Hai ragione, nonostante abbia letto la richiesta di aiutino l'ho praticamente filtrata perché ho ragionato esattamente come TeM. Non mi sembrava per nulla sensato dare indizi in un caso così particolare, perciò ho preferito farle vedere un modo di farlo (con le tecniche inusuali che comporta). In futuro proverò a non farlo anche in questi casi e a vedere come si evolverà la situazione
@marmotta: [esattamente quello che ha scritto mephlip]
@mephlip
[ot]ma aldilà del mio possibile intervento di moderazione, discutendone utente-utente: anche io l’ho fatto in passato, ma avevo la sensazione di appagare me stesso(una specie di bravo Antonio) e di non star aiutando nessuno. Oltre al fatto che essendo uno studente universitario prendevo gli esercizi degli altri come una scusa per farli io e mascherarlo da aiuto(ovviamente non sto dicendo che sia così per voi). Poi ho cominciato a farlo quando strettamente necessario, con maggiore soddisfazione.
Tengo a precisare nuovamente che questo è il mio pensiero che si è evoluto nel corso di questi anni, aldilà della moderazione, e vuole essere uno scambio di idee[/ot]
@mephlip
[ot]ma aldilà del mio possibile intervento di moderazione, discutendone utente-utente: anche io l’ho fatto in passato, ma avevo la sensazione di appagare me stesso(una specie di bravo Antonio) e di non star aiutando nessuno. Oltre al fatto che essendo uno studente universitario prendevo gli esercizi degli altri come una scusa per farli io e mascherarlo da aiuto(ovviamente non sto dicendo che sia così per voi). Poi ho cominciato a farlo quando strettamente necessario, con maggiore soddisfazione.
Tengo a precisare nuovamente che questo è il mio pensiero che si è evoluto nel corso di questi anni, aldilà della moderazione, e vuole essere uno scambio di idee[/ot]
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