Integrale nullo su tutti i misurabili

[Paolo902]

Esercizio. Sia $f$ integrabile su $(X,\mathcal A, \mu)$ t.c.
\[
\int_E f d\mu = 0, \qquad \forall E \in \mathcal A.
\]
Allora $f=0$ q.o.

Svolgimento.

Anzitutto, osservo che non ho ipotesi sul segno di $f$. Quindi, per ogni $E \in \mathcal A$ ho che
\[
0 = \int_E f d\mu =\int_E f^{+} d\mu - \int_E f^{-}d\mu \Rightarrow \int_E f^{+} d\mu = \int_E f^{-}d\mu
\]
e quindi anche
\[
\int_E \vert f \vert d\mu = \int_E f^{+} d\mu + \int_E f^{-}d\mu = 2 \int_E f^{+} d\mu = 2\int_{E \cap P} f d\mu = 0
\]
avendo indicato con \( P=\{x \in X: f(x)\ge 0\} \).
Mostro che $\forall \varepsilon>0$ si ha \( \mu(\vert f \vert > \varepsilon)= 0\). Ciò implica, passando al limite, che \( \mu (\vert f \vert \ne 0) = 0 \) cioè $f=0$ a.e.

Supponiamo per assurdo che esista $\varepsilon>0$ per cui, detto \( A_\varepsilon:=\{\vert f \vert > \varepsilon\}\), si abbia \( \mu(A_\varepsilon) >0 \). Allora
\[
0 < \mu(A_\varepsilon) = \int_{A_{\varepsilon}} d\mu \le \int_{A_{\varepsilon}} \frac{\vert f \vert }{\varepsilon}d\mu = 0
\]
assurdo.

Che dite? Può andare? L'ho fatta troppo semplice?

[Rigel1]

Direi che va bene. Io l'avrei fatta anche (leggermente) più semplice: per ogni \(n\in\mathbb{N}^+\)
\[
0\leq \mu\{f>1/n\} \leq n \int_{\{f>1/n\}} f d\mu = 0,\qquad
0\leq \mu\{f<-1/n\} \leq - n \int_{\{f<-1/n\}} f d\mu = 0,
\]
dunque
\[
\mu\{f\neq 0\} = \bigcup_{n=1}^{\infty}\{|f| > 1/n\} = 0.
\]

[Paolo902]

Come al solito, ti ringrazio molto.