Integrale notevole?

[Obidream]

Salve ragazzi, cercando di risolvere questa primitiva ed utilizzando un calcolatore di primitive ho notato questa sorta di integrale notevole che però non ritrovo in nessuna tabella:
$\int 1/(a^2+b^2t^2)dt$ $=(1/(ab))* \arctan (b/a)t +c$
Invece ritrovo questo:
$\int dx/(x^2+a^2)$ $=(1/a)*\arctan (x/a) +c$
Se sostituisco un parametro b alla x si vede subito che la seconda è una generalizzazione della prima, col coefficiente dell'incognita =1 giusto?

[dissonance]

No, non è un buon modo di vedere le cose. L'integrale notevole è uno solo:

\[\int \frac{1}{1+x^2}\, dx=\arctan(x)+c.\]

Tu devi ricondurti sempre a questo, non a formule complicate fatte apposta per essere dimenticate sul più bello. Nel primo caso ti conviene raccogliere \(a^2\) al denominatore e poi applicare una sostituzione \((b/a)t=s\).

[Obidream]

Quindi se dovessi risolvere questo? Premesso che sono stato in grado di farlo solo con la prima "formula" di sopra, ma riconosco che dovrei essere in grado di svolgerlo con l'integrale notevole vero che hai postato tu..
$int 1/(4+9x^2)dx$
Anche raccogliendo non arriva ad avere $1+x^2$ al denominatore, quindi paradossalmente questo integrale mi manda in crisi

[WalterLewin90]

Raccogli un 4 al denominatore diventa

$1/4* int (1/(1+(3/2*x)^2) $ poi...

[Obidream]

Grazie dovrei riuscire a continuare da solo spero..

[Obidream]

$1/4*2/3* int ((3/2)/(1+(3/2*x)^2))dx $
$=2/12*arctan(3/2)x +c$
$=1/6*arctan(3/2)x +c$
questo è lecito o c'è qualche cavolata?

[WalterLewin90]

Sì. Se non sei sicuro deriva il risultato no?

[Obidream]

Sia la derivata che wolfram confermano, grazie mille