Integrale notevole?

[Gab881]

Mi sto esercitando a risolvere degli integrali, e mi sono imbattuto in alcune risoluzioni che non riesco a spiegarmi. l'integrale è questo:

[tex]\int(x^2/(x^3-x)) dx[/tex] che viene risolto in questo modo:

[tex]1/2\int(2x/(x^2-1)) dx[/tex] (in questo passaggio sembra abbia messo in evidenza la x e abbassato di grado semplificando, e fin qui ci siamo, e inoltre si tira fuori quel 1/2 per aggiungere al numeratore il 2, e questa cosa non so a cosa gli serva). Infine conclude l'esercizio con questo risultato:

[tex]1/2log(x^2-1) + c[/tex] (Da dove esce quel logaritmo?è un integrale notevole che mi è sfuggito?)

Come anche quest'altro:

[tex]\int(x/(1+x^2))[/tex] che risolve direttamente così : [tex]1/2log(1+x^2) + c[/tex]

[gugo82]

Il trucco, in entrambi i casi, è quello di far apparire al numeratore la derivata del denominatore, così da integrare con un logaritmo.

[gac1]

Le primitive della funzione $\frac{2x}{x^2-1}$ possono essere definite su ciascuno degli intervalli $(-\infty, -1)$, $(-1,1)$, $(1,+\infty)$; di conseguenza, se non è noto su quale di questi intervalli si stanno cercando le primitive, è opportuno scrivere
$\int \frac{2x}{x^2-1} dx = \log |x^2-1| + c$.

[Gab881]

Ah, ho capito, quindi questo "trucco" devo prenderlo per buono. Ma per quale regola viene applicato? E quando devo applicarlo?Quando non posso più effettuare delle manipolazioni sul mio integrale per ricondurlo ad una forma nota?

[gac1]

Se $f$ è una funzione derivabile, che non si annulla in un certo intervallo $I$, allora
$\frac{d}{dx} \log(|f(x)|) = \frac{f'(x)}{f(x)}$ per ogni $x\in I$.
Ne consegue che, nel medesimo intervallo, le primitive di $\frac{f'(x)}{f(x)}$ sono $\log(|f(x)|) + c$, $c\in RR$.