Integrale non troppo semplice
Ho un problema nel risolvere un integrale, il libro da cui ho preso l'esercizio lo risolve in un modo diverso dal mio, e i risultati non sono gli stessi; quindi vorrei capire dove sbaglio, spero qualcuno sappia aiutarmi!
L'integrale da risolvere è :
$ int_()^() sqrt(x/(x-3))dx= int_()^()sqrt(x)/sqrt(x-3)dx $
Ho pensato quindi di sostuire $ sqrt(x)=t $ e quindi $ x=t^2 $ e $ x'=2t $. In questo modo ottengo:
$ 2int_()^() t^2/(sqrt(t^2-3))dt=2/sqrt(3)int_()^() t^2/(sqrt((t/sqrt(3))^2-1))dt $
A questo punto decido di sostituire $ t/sqrt(3)=Chz $ e quindi $ t=sqrt(3)Chz$ e $ t'=sqrt(3)Shz $ e ho:
$ 2/sqrt(3)int_()^() 3(Ch^2(z))/(sqrt(Ch^2z-1)).sqrt(3)Shzdz=6int_()^() Ch^2zdz $
Ora integrando per parti l'ultimo integrale me la cavo, il problema è che il risultato non torna!
Idee su dove ho commesso errori?
Grazie in anticipo!
L'integrale da risolvere è :
$ int_()^() sqrt(x/(x-3))dx= int_()^()sqrt(x)/sqrt(x-3)dx $
Ho pensato quindi di sostuire $ sqrt(x)=t $ e quindi $ x=t^2 $ e $ x'=2t $. In questo modo ottengo:
$ 2int_()^() t^2/(sqrt(t^2-3))dt=2/sqrt(3)int_()^() t^2/(sqrt((t/sqrt(3))^2-1))dt $
A questo punto decido di sostituire $ t/sqrt(3)=Chz $ e quindi $ t=sqrt(3)Chz$ e $ t'=sqrt(3)Shz $ e ho:
$ 2/sqrt(3)int_()^() 3(Ch^2(z))/(sqrt(Ch^2z-1)).sqrt(3)Shzdz=6int_()^() Ch^2zdz $
Ora integrando per parti l'ultimo integrale me la cavo, il problema è che il risultato non torna!
Idee su dove ho commesso errori?
Grazie in anticipo!
Risposte
Posta i conti che hai fatto andando a ritroso.
"K.Lomax":
Posta i conti che hai fatto andando a ritroso.
In che senso? I conti sono quelli..
L'ultimo pezzo viene:
$ =ChzShz - int_()^() Sh^2zdz=ChzShz-int_()^() (Ch^2z - 1)dz $
e quindi portando di là $int_()^() Ch^2zdz$ ottengo:
$ 6int_()^() Ch^2zdz=3ChzShz+3int_()^() 1dz=3ChzShz + 3z + C $
Risostituendo:
$ 3t/sqrt(3)sqrt(t^2/3-1) + 3log(t/sqrt(3)+sqrt(t^2/3-1)) + C= tsqrt(t^2-3)+3log(t/sqrt(3)+sqrt(t^2/3-1))+C $
Seconda sostituzione:
$ sqrt(x)sqrt(x-3)+3log(sqrt(x/3)+sqrt(x/3-1))+C $
Noto che wolfram dà ragione a me, mentre le mie capacità di derivazione fanno sì che la derivata venga 0 O.o. Spero che wolfram non sbagli almeno questa volta!
In ogni caso il libro sostituiva direttamente $x/(x-3) $ con $ t^2 $..
In ogni caso il libro sostituiva direttamente $x/(x-3) $ con $ t^2 $..
è possibile che l'errore sia nell'integrazione per parti? I passaggi precedenti mi sembrano tutti corretti.. e risolvendo l'ultimo integrale (cioè $cosh^2z$) con le formule di bisezione a me torna diverso e cioè:
$3/2 senh(2z) + 3z$.
Mi sembra che il tuo errore sia in come consideri $senh(z)$, visto che $z=setcosh(\sqrt{x/3})$.
Sostituendo a $z$ in funzione di $x$ e facendo un po' di conti il risultato finale che mi viene è:
$\sqrt{3}/2(\sqrt{x-1}+log(\sqrt{x}+\sqrt{x-3}))$
$3/2 senh(2z) + 3z$.
Mi sembra che il tuo errore sia in come consideri $senh(z)$, visto che $z=setcosh(\sqrt{x/3})$.
Sostituendo a $z$ in funzione di $x$ e facendo un po' di conti il risultato finale che mi viene è:
$\sqrt{3}/2(\sqrt{x-1}+log(\sqrt{x}+\sqrt{x-3}))$
Dubito che l'errore sia nell'integrazione per parti. Comunque anche nella sostituzione di cui parli non capisco quale sia il problema. $ z=setcosh(sqrt(x/3)) $ e quindi $ senhz=sqrt(cosh^2z-1)=sqrt(x/3-1) $.
Oltretutto se le formule di duplicazione del seno iperbolico sono : $ Sh2x=2ShxChx $ come credo, il tuo risultato è uguale al mio!
Ormai mi sono convinto che sia il libro a sbagliare, e penso anche di aver trovato l'errore nella soluzione. Aspetto solo che qualcuno me lo confermi!
Oltretutto se le formule di duplicazione del seno iperbolico sono : $ Sh2x=2ShxChx $ come credo, il tuo risultato è uguale al mio!
Ormai mi sono convinto che sia il libro a sbagliare, e penso anche di aver trovato l'errore nella soluzione. Aspetto solo che qualcuno me lo confermi!
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