Integrale non risolvibile
Salve ragazzi/e, mi sto incasinando con questo esercizio. Bisogna calcolare: \( \lim_{x\rightarrow +\infty } (x\int_{0}^{x} e\exp(t^2-x^2) \, dx) \).
So che quell'integrale non è risolvibile e difatti la traccia chiede di calcolarlo attraverso il teorema fondamentale del calcolo integrale, ma non riesco a capire come applicarlo.
Grazie!
So che quell'integrale non è risolvibile e difatti la traccia chiede di calcolarlo attraverso il teorema fondamentale del calcolo integrale, ma non riesco a capire come applicarlo.
Grazie!
Risposte
Immagino che quel $dx$ alla fine sia un $dt$... In ogni caso potresti fare così:
$x \int_{0}^{x} e^{t^2-x^2} dt=x e^{-x^2} \int_0^x e^{t^2} dt={\int_0^x e^{t^2}dt}/{e^{x^2}/x}$.
Per $x->+oo$ si ha un limite della forma $0/0$, che quindi può essere calcolato con il teorema di de l'Hopital.
$x \int_{0}^{x} e^{t^2-x^2} dt=x e^{-x^2} \int_0^x e^{t^2} dt={\int_0^x e^{t^2}dt}/{e^{x^2}/x}$.
Per $x->+oo$ si ha un limite della forma $0/0$, che quindi può essere calcolato con il teorema di de l'Hopital.
Potresti scrivermi i passaggi anche per il limite?
Ti sarei molto grata -.-
Ti sarei molto grata -.-
Ok! Per il teorema di de l'Hopital possiamo sostituire numeratore e denominatore con le rispettive derivate, quindi
$\lim_{x->+oo} {\int_0^x e^{t^2}dt}/{e^{x^2}/x}=\lim_{x->+oo} {e^{x^2}}/{{2x^2e^{x^2}-e^{x^2}}/x^2}=\lim_{x->+oo} {x^2}/{2x^2-1}=1/2$
$\lim_{x->+oo} {\int_0^x e^{t^2}dt}/{e^{x^2}/x}=\lim_{x->+oo} {e^{x^2}}/{{2x^2e^{x^2}-e^{x^2}}/x^2}=\lim_{x->+oo} {x^2}/{2x^2-1}=1/2$
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