Integrale non capisco perchè non mi viene il segno meno
ciao a tutti! Vi faccio vedere prima come ho svolto l'integrale:
$ int x/sqrt(a - x^2) = int 1/sqrt(a-x^2) x dx = int 1/sqrt(a-x^2) 1/2 d(x^2) = 1/2 int 1/sqrt(a-x^2) d(x^2) = 1/2 int (a-t)^(-1/2) dt = 1/2((a-t)^(-1/2 + 1))/(-1/2+1) + c = sqrt(a-x^2) + c $ invece il risultato dovrebbe venire con un meno davanti. Perchè? grazie mille
$ int x/sqrt(a - x^2) = int 1/sqrt(a-x^2) x dx = int 1/sqrt(a-x^2) 1/2 d(x^2) = 1/2 int 1/sqrt(a-x^2) d(x^2) = 1/2 int (a-t)^(-1/2) dt = 1/2((a-t)^(-1/2 + 1))/(-1/2+1) + c = sqrt(a-x^2) + c $ invece il risultato dovrebbe venire con un meno davanti. Perchè? grazie mille
Risposte
perché la derivata di $-x^2$ è $-2x$ e non $2x$...
quindi sbaglio quando trasformo $ x^2 $ in t? poi un'altra cosa... siccome in un altro integrale quando avevo $ a $ dentro l'integrale bisognava portarlo fuori e diventava $ 1/a $ perchè quando porto fuori $ 1/2 $ rimane $ 1/2 $ ? scusa per tutte queste domande ma sono alle prime armi con gli integrali.
quindi sbaglio quando trasformo $ x^2 $ in t? poi un'altra cosa... siccome in un altro integrale quando avevo $ a $ dentro l'integrale bisognava portarlo fuori e diventava $ 1/a $ perchè quando porto fuori $ 1/2 $ rimane $ 1/2 $ ? scusa per tutte queste domande ma sono alle prime armi con gli integrali.
la formula a cui ti rifai è la formula $int f'(x)/f(x)^k = f(x)^(-k+1)/(1-k)$ con $k!=1$
però $f'(x)$ in questo caso è $-2x$, quindi devi moltiplicare e dividere l'integrale per $-2$. A questo punto sei nella forma $ -1/2 int (f'(x))/f(x)^kdx$ e puoi concludere come hai fatto te.
però $f'(x)$ in questo caso è $-2x$, quindi devi moltiplicare e dividere l'integrale per $-2$. A questo punto sei nella forma $ -1/2 int (f'(x))/f(x)^kdx$ e puoi concludere come hai fatto te.
ho riprovato a farlo ma il libro mi dice di utilizzare questa formula:
$ int [f(x)]^b f'(x)dx = [f(x)]^(b+1)/(b+1) + c $ quindi ho provato ad applicare: $ int (a-x^2)^(-1/2) (a-x^2)' x dx = int (a-x^2)^(-1/2) (-2x) x dx = -1/2 int (a-x^2)^(-1/2) x x dx $
sicuramente ho sbagliato qualche passaggio ci sono delle x di troppo solo che non capisco perchè ci sono queste x.
$ int [f(x)]^b f'(x)dx = [f(x)]^(b+1)/(b+1) + c $ quindi ho provato ad applicare: $ int (a-x^2)^(-1/2) (a-x^2)' x dx = int (a-x^2)^(-1/2) (-2x) x dx = -1/2 int (a-x^2)^(-1/2) x x dx $
sicuramente ho sbagliato qualche passaggio ci sono delle x di troppo solo che non capisco perchè ci sono queste x.
devi applicare $int (a-x^2)^(-1/2) * (a-x^2)'dx$ non $int (a-x^2)^(-1/2) * (a-x^2)'xdx$, non ha senso!
Per quanto riguarda l'altra domanda sull'integrale, in generale tu hai che $int a*f(x) = aintf(x)$, quindi non devi sostituire $a$ con $1/a$ quando porti fuori le costante. Il $-1/2$ esce perché tu vuoi che al numeratore compaia la derivata di $(a - x^2)$ che è $-2x$. Allora moltiplichi e dividi per $-2$ l'integranda, ottenendo:
$int (-2)/(-2) *x/sqrt(a-x^2)dx = -1/2 int(-2x) /(sqrt(a-x^2))dx = -1/2 int 1/sqrt t$ dove si è sostituito ponendo $t = a -x^2$
Tutto qui l'arcano del segno!
$int (-2)/(-2) *x/sqrt(a-x^2)dx = -1/2 int(-2x) /(sqrt(a-x^2))dx = -1/2 int 1/sqrt t$ dove si è sostituito ponendo $t = a -x^2$
Tutto qui l'arcano del segno!
perfetto sei stato molto chiaro! grazie mille
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