Integrale nel campo complesso
Devo fare il seguente integrale:$int_(Γ^(-))dz/[(z+1)sen (1/(j(z+1)))$,dove $Γ^(-)$ è una circonferenza di centro $z=-1$ e raggio pari a $4π$.
Volevo farlo col teorema dei residui,ma le singolarità sono $z=-1$ e $z=-1-j/(kπ)$ dove quest'ultime non sono singolarità isolate,dunque il teorema dei residui non è applicabile,devo quindi parametrizzare.Sono andato a parametrizzare ma mi escono integrali molto complicati,qualcuno può consigliarmi qualche metodo migliore??
Grazie
Volevo farlo col teorema dei residui,ma le singolarità sono $z=-1$ e $z=-1-j/(kπ)$ dove quest'ultime non sono singolarità isolate,dunque il teorema dei residui non è applicabile,devo quindi parametrizzare.Sono andato a parametrizzare ma mi escono integrali molto complicati,qualcuno può consigliarmi qualche metodo migliore??
Grazie
Risposte
Scusa darinter, ma il $-$ come apice indica che $Gamma$ è orientata come frontiera d'un intorno del punto all'infinito (ossia in senso orario)?
Se è così devi guardare cosa accade "fuori" da $Gamma$, ossia per $|z+1|>4pi$.
Se è così devi guardare cosa accade "fuori" da $Gamma$, ossia per $|z+1|>4pi$.
Per $(-)$ intendo frontiera orientata negativamente,quindi in senso orario.Perchè dovrei guardare fuori dalla circonferenza?
Perchè quando risolvi col metodo dei residui devi guardare cosa succede nel dominio delimitato dalla curva chiusa $Gamma$; se $Gamma$ è orientata in senso antiorario allora devi guardare "dentro" $Gamma$ (ossia cosa succede nel dominio limitato che ha per frontiera $Gamma$), mentre se $Gamma$ è orientata in senso orario devi guardare cosa succede "fuori" da $Gamma$ (cioè cosa succede nel dominio illimitato che ha per frontiera $Gamma$).
Insomma, quando $Gamma$ è orientata positivamente va considerata come frontiera di un intorno d'un suo "punto interno" (cioè di ogni punto appartenente al dominio limitato "delimitato" da $Gamma$); quando è orientata in senso negativo, essa va considerata come frontiera di un intorno di $oo$.
Per capire meglio la differenza, immagina il tutto disegnato sulla sfera di Riemann.
Insomma, quando $Gamma$ è orientata positivamente va considerata come frontiera di un intorno d'un suo "punto interno" (cioè di ogni punto appartenente al dominio limitato "delimitato" da $Gamma$); quando è orientata in senso negativo, essa va considerata come frontiera di un intorno di $oo$.
Per capire meglio la differenza, immagina il tutto disegnato sulla sfera di Riemann.
Sei sicuro di questo fatto, Gugo? Forse sono io che non riesco a seguirti. Ti dico: sia $gamma$ la circonferenza di centro 0 e raggio 1, orientata negativamente. Da quello che dici nel tuo post, io capisco che $int_gamma 1/z"d"z=0$, perché "fuori" dalla circonferenza $1/z$ non ha singolarità. Cosa non va?
"dissonance":
Sei sicuro di questo fatto, Gugo? Forse sono io che non riesco a seguirti. Ti dico: sia $gamma$ la circonferenza di centro 0 e raggio 1, orientata negativamente. Da quello che dici nel tuo post, io capisco che $int_gamma 1/z"d"z=0$, perché "fuori" dalla circonferenza $1/z$ non ha singolarità. Cosa non va?
Non vorrei sbagliarmi ma $1/z$ è una funzione olomorfa all'infinito,ovvero $oo$ è un singolarità per $1/z$,detto ciò non sapevo assolutamente che quando la frontiera era orientata negativamente dovevo guardare al di fuori,di solito sfruttavo il teorema dei residui e calcolavo l'integrale pari a $-2πj(R(s_1)+...+R(s_p))$ dove $s_1,...,s_p$ sono le singolarià isolate presenti dentro al dominio e quindi cambiavo il segno (per questo ho messo il meno) quando la frontiera era orientata negativaente.
Eh si anche io faccio così. Quello che dice Gugo mi convince da un punto di vista geometrico (in fondo l'inversione cambia il verso di percorrenza delle circonferenze), ma non da un punto di vista "pratico". L'orientazione di un circuito non dovrebbe influire solo sul segno dell'integrale?
Ma infatti questo succede; solo che "dentro" $Gamma$ hai una singolarità che non è isolata ($-1$ è punto d'accumulazione degli zeri di $sin(1/(i*(z+1)))$, che sono poli del primo ordine per l'integrando) e non sai come comportarti coi residui (infatti si studia solo la classificazione delle singolarità isolate ed il relativo calcolo dei residui).
Tanto vale considerare $Gamma$ come frontiera orientata positivamente d'un intorno del punto all'infinito e togliersi dagli impicci.
[size=75]P.S.: Ma quanto è bella Lola Ponce... Scrivo di residui e guardo la Gialappa's.
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Tanto vale considerare $Gamma$ come frontiera orientata positivamente d'un intorno del punto all'infinito e togliersi dagli impicci.
[size=75]P.S.: Ma quanto è bella Lola Ponce... Scrivo di residui e guardo la Gialappa's.
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Che poi in effetti $-2πj(R(s_1)+...+R(s_p))$ sarebbe $2πjR(oo)$ in base al secondo teorema dei residui e quindi tutto sembra coincidere.Quindi per risolvere devo fare il limite per $z->oo$ della funzione integranda,che a quanto pare mi viene pari a $j$,quindi la funzione è regolare all'infinito,ma il residuo non è detto che sia zero,giusto?Solo visto che non si tratta di un polo devo porre $z=1/w$ e andare a fare lo sviluppo di $g(w)$ per trovare il valore del residuo?
Grazie
Grazie
Scusa, non capisco.
Hai una funzione regolare all'infinito; ciò equivale a dire che $g(w)=f(1/w)$ è regolare in $w=0$, ossia che $g$ è prolungabile con continuità e conservando la derivabilità su $w=0$.
Perchè il residuo di $g$ dovrebbe essere diverso da zero in $w=0$?
Hai una funzione regolare all'infinito; ciò equivale a dire che $g(w)=f(1/w)$ è regolare in $w=0$, ossia che $g$ è prolungabile con continuità e conservando la derivabilità su $w=0$.
Perchè il residuo di $g$ dovrebbe essere diverso da zero in $w=0$?
Il mio libro dice così:"Il residuo all'infinito può non essere nullo,pur essendo il punto $z_0=oo$ non singolare"
Il tuo libro ha ragionissima!
Errore mio, dovuto all'orario ed al fatto che non calcolo residui da un paio d'anni.
Ad ogni modo, il residuo dovrebbe venire lo stesso $0$, ma devi fare i conti.
Errore mio, dovuto all'orario ed al fatto che non calcolo residui da un paio d'anni.
Ad ogni modo, il residuo dovrebbe venire lo stesso $0$, ma devi fare i conti.
Devo fare lo sviluppo di $g(w)$ per trovare il residuo,giusto?
Se non sbaglio (ormai mi cautelo... ), il residuo che cerchi coincide con il coeffeciente di $w$ nello sviluppo in serie di Taylor; quindi sì, mi sa che devi fare come dici.
), il residuo che cerchi coincide con il coeffeciente di $w$ nello sviluppo in serie di Taylor; quindi sì, mi sa che devi fare come dici.
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