Integrale nel campo complesso..
..si lo so che dovrei saperli fare...ma non mi rocordo proprio!!! Ho anche ripassato qualcosa..ma per riuscire ad avere la dimestichezza (che non ho mai avuto) dovrei rifare un sacco di esercizi..e non mi pare proprio il caso di farli ora!!!
Cmq il mio problema è questo. Sto preparando l'esame di complementi di meccanica quatistica. Bene ad un certo punto devo usare la legge di Bohr Sommerfield, per la quale l'integrale su un cammino chiuso di $p dx = nh$.
Ora l'integrale che devo risolvere è dunque questo:
$oint (dr)/r*sqrt((r_max-r)(r-r_min))$
dove $0
Non vi dico le mie perplessità che magari vi confondo le idee...
fatemi sapere al più presto
grazie
il vecchio
Cmq il mio problema è questo. Sto preparando l'esame di complementi di meccanica quatistica. Bene ad un certo punto devo usare la legge di Bohr Sommerfield, per la quale l'integrale su un cammino chiuso di $p dx = nh$.
Ora l'integrale che devo risolvere è dunque questo:
$oint (dr)/r*sqrt((r_max-r)(r-r_min))$
dove $0
Non vi dico le mie perplessità che magari vi confondo le idee...
fatemi sapere al più presto
grazie
il vecchio
Risposte
Sicuramente non ti posso essere d'aiuto...
Comunque, $r$ è una variabile complessa?
Te lo chiedo perchè hai scritto $0
Include i punti di diramazione o solo il polo $t=0$?
Quale ramo della funzione si deve considerare?
Senza tutte queste precisazioni diventa difficile che qualcuno ti risponda.
Comunque, $r$ è una variabile complessa?
Te lo chiedo perchè hai scritto $0
Include i punti di diramazione o solo il polo $t=0$?
Quale ramo della funzione si deve considerare?
Senza tutte queste precisazioni diventa difficile che qualcuno ti risponda.
eh eh...si lo so...il fatto è che l'integrale viene fatto nel campo complesso...ma in realtà r è una variabile reale...
cmq..lascia perdere l'aspetto "fisico"..a me interessa adesso sapere come si risolve l'integrale nel campo complesso, con variabile r complessa. Poi ho scelto di tagliare il piano tra i due punti di diramazione, che sono entrambi sull'asse reale e positivi. Il percorso è quello a "osso" che circonda i punti di diramazione, senza comprendere il polo in 0.
cmq..lascia perdere l'aspetto "fisico"..a me interessa adesso sapere come si risolve l'integrale nel campo complesso, con variabile r complessa. Poi ho scelto di tagliare il piano tra i due punti di diramazione, che sono entrambi sull'asse reale e positivi. Il percorso è quello a "osso" che circonda i punti di diramazione, senza comprendere il polo in 0.
Fammi capire, devi calcolare il seguente integrale
$int_(r_(min))^(r_(max))(dr)/rsqrt((r_(max)-r)(r-r_(min))$ con $r$ reale
utilizzando i metodi dell'analisi complessa?
$int_(r_(min))^(r_(max))(dr)/rsqrt((r_(max)-r)(r-r_(min))$ con $r$ reale
utilizzando i metodi dell'analisi complessa?
Se è come penso, l'esempio V potrebbe fare al caso tuo: http://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of ... ntegration
Io devo proprio calcolare l'integrale sul percorso!! Sto usando la legge di Bohr-Sommerfield..
In fondo all'esempio V viene mostrato come calcolare la somma dei residui nel circuito ad osso che circonda i punti di diramazione.
In sintesi la strada è quella di calcolare il residuo all'infinito che è uguale alla somma dei residui cambiata di segno, aggiungere il valore del residuo nel polo $t=0$ e poi cambiare tutto di segno:
in questo modo ottengo la somma dei residui nei due punti di diramazione, e poi calcolo l'integrale con il teorema dei residui.
Sperando che la strada sia percorribile.
In sintesi la strada è quella di calcolare il residuo all'infinito che è uguale alla somma dei residui cambiata di segno, aggiungere il valore del residuo nel polo $t=0$ e poi cambiare tutto di segno:
in questo modo ottengo la somma dei residui nei due punti di diramazione, e poi calcolo l'integrale con il teorema dei residui.
Sperando che la strada sia percorribile.
esatto...è quello che avevo pensato anch'io...la mia difficoltà è calcolare il residuo all'infinito!! il residuo in 0 l'ho calcolato...e il risultato che ottengo è $-2pi*r_0$, il che significa che l'altro pezzo mi deve uscire fuori dall'infinito...ma come???
Nell'esempio che ti ho indicato c'è scritto tutto...
Comunque ecco lo svolgimento:
Ho cambiato le lettere per semplicità.
Il residuo all'infinito è dato dal coefficiente di $1/z$ nello sviluppo Laurent di:
$-1/z^2f(1/z)=-z/z^2(sqrt((az-1)(1-bz)))/z=-1/z^2e^(pi/2i)(1-az)^(1/2)(1-bz)^(1/2)=-1/z^2*i*(1-a/2*z+...)(1-b/2*z+...)$
nell'ultimo passaggio ho utilizzato la serie binomiale $(1+z)^(1/2)=sum_(n=0)^(+infty)((1/2),(n))*z^n$.
Il coefficiente di $1/z$ è $(a/2+b/2)i=(r_(min)/2+r_(max)/2)i$.
Spero sia chiaro.
Comunque ecco lo svolgimento:
Ho cambiato le lettere per semplicità.
Il residuo all'infinito è dato dal coefficiente di $1/z$ nello sviluppo Laurent di:
$-1/z^2f(1/z)=-z/z^2(sqrt((az-1)(1-bz)))/z=-1/z^2e^(pi/2i)(1-az)^(1/2)(1-bz)^(1/2)=-1/z^2*i*(1-a/2*z+...)(1-b/2*z+...)$
nell'ultimo passaggio ho utilizzato la serie binomiale $(1+z)^(1/2)=sum_(n=0)^(+infty)((1/2),(n))*z^n$.
Il coefficiente di $1/z$ è $(a/2+b/2)i=(r_(min)/2+r_(max)/2)i$.
Spero sia chiaro.
si esatto...l'ho risolto proprio stamattina..il fatto è che avevo fatto i conti con Maple...che è stupido!! e quando gli facevo calcolare il limite mi diceva che non era definito!! sicchè avevo pensato che l'infinito non fosse un polo doppio..invece no...
cmq grazie mille.
ciao ciao
il vecchio
cmq grazie mille.
ciao ciao
il vecchio
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