Integrale nel campo complesso

[qadesh1]

Salve a tutti,

devo risolvere il seguente integrale:

$\int_(-infty)^(+infty) {1}/{(x^2 + a^2)^2} dx $.

Ho pensato di risolverlo utilizzando l'analisi complessa e quindi:

$\int_(-infty)^(+infty) {1}/{(x^2 + a^2)^2} dx = \oint {1}/{(z^2 + a^2)^2} dz - \int_(gamma_R) {1}/{(z^2 + a^2)^2} dz $.

Poichè la funzione tende a zero più velocemente di ${1}/{z^2}$ allora,per il lemma di jordan,il secondo integrale a secondo membro è nullo.

Rimane dunque da calcolare l'integrale : $\oint {1}/{(z^2 + a^2)^2} dz$ e questo si può fare utilizzando il teorema dei residui.

Le singolarità di $f(z) = {1}/{(z^2 + a^2)^2} $ sono $ z = +- ia$ entrambi poli di ordine due.

Poichè stiamo considerando il semipiano positivo delle ordinate allora l'unica singolarità da utilizzare è $z = ia$.

Allora,essendo polo doppio, il suo residuo è $res = -4ia$ e quindi:


$\int_(-infty)^(+infty) {1}/{(x^2 + a^2)^2} dx = \oint {1}/{(z^2 + a^2)^2} dz = 2pi i (4ia) = 8 pi a$.


che ne dite?? ho l'impressione che sia sbagliato

[gugo82]

L'idea è giusta, ma il conto (forse il residuo) è probabilmente sbagliato.

Inoltre ci sono certamente un paio di errori di "teoria":

"qadesh":$\int_(-infty)^(+infty) {1}/{(x^2 + a^2)^2} dx = \oint {1}/{(z^2 + a^2)^2} dz - \int_(gamma_R) {1}/{(z^2 + a^2)^2} dz $.

Qui certamente non ci può essere uguaglianza tra gli integrali. (Perché?)

"qadesh":Poichè la funzione tende a zero più velocemente di ${1}/{z^2}$ allora,per il lemma di jordan,il secondo integrale a secondo membro è nullo.

Falso: il lemma di Jordan non dice questo.

[qadesh1]

allora riguardo il primo punto forse intendi dire che avrei dovuto scrivere:

$lim _(R \to \infty )\int_(gamma_R) {1}/{(z^2 + a^2)^2} dz$ nel senso che è il limite dell'integrale che tende a zero e non che l'integrale è nullo.

In ogni caso per quanto riguarda il calcolo del residuo,posto che le singolarità sono sempre $z = +- ia$ con molteplicità doppia, ho proceduto in questo modo:

dovendo considerare solo la singolarità nel semipiano positivo delle ordinate (cioè $z = ia$) considero la formula per la determinazione del residuo :

$res f(z_0) = {1}/{(n-1)!} lim_(z -> z_0) {d^(n-1)}/{dz^(n-1)} [(z-z_0)^n f(z)]$.

ora ,siccome nel nostro caso $n = 2$, allora la precedente si riduce a :

$res f(z_0) = lim_(z -> z_0) {d}/{dz} [(z-ia)^2 {1}/{(z+ia)^2 (z-ia)^2}]$

che fa : $res f(z_0) = lim_(z -> ia) ({-2}/{z+ia} ) = {-2}/{2ia} = {i}/{a} $.

avevo fatto un errore nella derivazione.

Quindi : $\oint {1}/{(z^2 + a^2)^2} = 2 pi i {i}/{a} = - {2 pi}/{a}$.

il segno meno però non mi convince

[gugo82]

Certo, il lemma di Jordan dice proprio quella roba lì, cioé che il limite dell'integrale è nullo.
Inoltre, pur correggendo i conti, sbagli a derivare. Fai attenzione.

Svolgo l'integrale come dovrebbe essere fatto.

Innanzitutto, osservo che la funzione integranda è sommabile su \(\mathbb{R}\), sicché l'integrale improprio assegnato coincide con l'integrale a valor principale, cioé si ha:
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(x^2 + a^2)^2}\ \text{d} x = \lim_{R\to \infty} \int_{-R}^R \frac{1}{(x^2 + a^2)^2}\ \text{d} x\; ,
\]
perciò basta calcolare il limite al secondo membro per ottenere il risultato.
Considero la funzione ausiliaria complessa:
\[
f(z) := \frac{1}{(z^2 +a^2)^2}
\]
e noto che per ogni fissato \(R>0\) si ha:
\[
\int_{-R+0\ \imath}^{R+0\ \imath} f(z)\ \text{d} z = \int_{-R}^R \frac{1}{(x^2 + a^2)^2}\ \text{d} x\; ;
\]
in cui l'integrale al primo membro è complesso esteso al segmento di estremi \(-R+0\ \imath\) ed \(R+0\ \imath\) orientato nel verso delle parti reali crescenti.
Per calcolare quest'ultimo integrale, considero il circuito formato dal segmento appena detto e dall'arco di circonferenza \(\Gamma (R)\) di centro \(0\) e raggio \(R\) che giace nel semipiano \(\operatorname{Im} z\geq 0\), orientato nel verso antiorario; per \(R>a\) tale circuito delimita un dominio \(\Omega (R)\) in cui \(f(z)\) ha (al più) un'unica singolarità isolata di tipo polare del secondo ordine, nel punto \(a\ \imath\): pertanto il primo teorema dei residui importa:
\[
\int_{+\partial \Omega (R)} f(z)\ \text{d} z = 2\pi\ \imath\ \operatorname{Res} (f;a\ \imath)
\]
per ogni \(R>a\). Conseguentemente, per la proprietà additiva dell'integrale risulta:
\[
\int_{-R+0\ \imath}^{R+0\ \imath} f(z)\ \text{d} z = 2\pi\ \imath\ \operatorname{Res} (f;a\ \imath) - \int_{+\Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z
\]
per \(R>a\). Il lemma di Jordan mi assicura che:
\[
\lim_{R\to \infty} \int_{+\Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z =0
\]
(poiché si ha \(|f(z)|\leq \big| |z|^2 - a^2 \big|^{-2}\), sicché \(f(z)\to 0\) per \(|z|\to \infty\) uniformemente rispetto ad \(\operatorname{arg} z\)), dunque:
\[
\begin{split}
\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(x^2 + a^2)^2}\ \text{d} x &= \lim_{R\to \infty} \int_{-R}^R \frac{1}{(x^2 + a^2)^2}\ \text{d} x\\
= \lim_{R\to \infty} \int_{-R+0\ \imath}^{R+0\ \imath} f(z)\ \text{d} z \\
&= 2\pi\ \imath\ \operatorname{Res} (f;a\ \imath) - \lim_{R\to \infty} \int_{+\Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z\\
&= 2\pi\ \imath\ \operatorname{Res} (f;a\ \imath)\; .
\end{split}
\]
Per terminare, mi basta calcolare il residuo che figura all'ultimo membro della precedente catena.
Poiché la \(f\) ha in \(a\ \imath\) un polo del secondo ordine, trovo:
\[
\begin{split}
\operatorname{Res} (f;a\ \imath) &= \lim_{z\to a\ \imath} \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ (z-a\ \imath)^2\ \frac{1}{(z^2 + a^2)^2}\right]\\
&= \lim_{z\to a\ \imath} \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{1}{(z + a\ \imath)^2}\right]
&= \lim_{z\to a\ \imath} \frac{-2}{(z + a\ \imath)^3}\\
&= -\frac{2}{(2a\ \imath)^3}\\
&= -\frac{\imath}{4a^3}
\end{split}
\]
dunque:
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(x^2 + a^2)^2}\ \text{d} x = \frac{\pi}{2 a^3}\; .
\]

[qadesh1]

grazie mille gugo..che errore quello della derivata!

[gugo82]

Esercizio:

Per \(a>0\) ed \(n\in \mathbb{N}\), calcolare:
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(x^2+a^2)^n}\ \text{d} x\; .
\]

[qadesh1]

allora direi che per tutto quello che abbiamo detto prima l'integrale si riduca al calcolo dei residui che si trovano nel semipiano superiore:

${1}/{(n-1)!} lim_(z -> ia) {d^(n-1)}/{dz^(n-1)}{1}/{(z+ia)^n} = {1}/{(n-1)!} (2ia)^(-2n+1) prod_{i=0}^(n-2) (n+i) $

quindi,se non ho fatto errori..:

$\oint {1}/{(z^2 + a^2)^n} dz = 2 pi i {1}/{(n-1)!} (2ia)^(-2n+1) prod_{i=0}^(n-2) (n+i)$

[Peter Pan1]

Ciao gugo:)
volevo farti una domanda riguardo quello che hai scritto:

"gugo82":Considero la funzione ausiliaria complessa:
\[
f(z) := \frac{1}{(z^2 +a^2)^2}
\]
e noto che per ogni fissato \(R>0\) si ha:
\[
\int_{-R+0\ \imath}^{R+0\ \imath} f(z)\ \text{d} z = \int_{-R}^R \frac{1}{(x^2 + a^2)^2}\ \text{d} x\; ;
\]
in cui l'integrale al primo membro è complesso esteso al segmento di estremi \(-R+0\ \imath\) ed \(R+0\ \imath\) orientato nel verso delle parti reali crescenti.

mi spiegheresti il passaggio dalla funzione complessa integrata dal punto $ -R+0i $ a $ R+0i $ a quella reale integrata da $ -R $ a $ R $.