Integrale molto particolare
Ciao a tutti, sono nuovo e non posso nascondere che mi sono iscritto a questo forum principalmente per un integrale che non riesco a risolvere da solo. Spero che nessuno di voi ce l'abbia a male e che qualcuno mi possa aiutare a risolverlo. Premetto che è un integrale che mi è saltato fuori da alcuni ragionamenti su un problema di geometria e perciò non so se si trovi qualcosa di simile nei libri.
\(\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{c\sqrt{a^2 + b^2}}{(a\cos{\theta}+b\sin{\theta})^2} \text{d} \theta =\)
Tramite sostituzione con \(\displaystyle \tan{\frac{\theta}{2}} = t \) e semplificazioni varie sono arrivato a questo:
\(\displaystyle c\sqrt{a^2 + b^2} \int_0^1 \frac{2}{(a(1-t^4)+2bt(1+t^2))^2} \text{d} t =\)
A me risulta più complicato invece che più semplice e purtroppo le mie capacità matematiche non mi permettono di proseguire e perciò qui mi fermo, qualcuno sa proseguire?
Grazie!
Luca
\(\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{c\sqrt{a^2 + b^2}}{(a\cos{\theta}+b\sin{\theta})^2} \text{d} \theta =\)
Tramite sostituzione con \(\displaystyle \tan{\frac{\theta}{2}} = t \) e semplificazioni varie sono arrivato a questo:
\(\displaystyle c\sqrt{a^2 + b^2} \int_0^1 \frac{2}{(a(1-t^4)+2bt(1+t^2))^2} \text{d} t =\)
A me risulta più complicato invece che più semplice e purtroppo le mie capacità matematiche non mi permettono di proseguire e perciò qui mi fermo, qualcuno sa proseguire?
Grazie!
Luca
Risposte
\(b=\sin{\phi}, a=\cos{\phi}\)
\[c\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}{\frac{1}{\cos^{2}{(\theta-\phi)}}d\theta}=c\int^{\frac{\pi}{2}-\phi}_{-\phi}{\frac{1}{\cos^{2}{y}}dy}=\]
\[=c\left[\tan{\left(\frac{\pi}{2}-\phi\right)}-\tan{(-\phi)}\right]=\frac{2c}{\sin{(2\phi)}}=\frac{c}{ab}\]
\[c\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}{\frac{1}{\cos^{2}{(\theta-\phi)}}d\theta}=c\int^{\frac{\pi}{2}-\phi}_{-\phi}{\frac{1}{\cos^{2}{y}}dy}=\]
\[=c\left[\tan{\left(\frac{\pi}{2}-\phi\right)}-\tan{(-\phi)}\right]=\frac{2c}{\sin{(2\phi)}}=\frac{c}{ab}\]
non so se sia la strada più breve ... si tratta sostanzialmente di trovare l'insieme delle primitive di
\[\int \frac{dx}{(a\cos x+b\sin x)^2};\]
molltiplica numeratore e denoinatore per $1/(\cos^2x)$ e ottieni:
\begin{align}
\int \frac{\frac{1}{\cos^2x}\,\,dx}{\frac{1}{\cos^2x}\cdot (a\cos x+b\sin x)^2}&=\int \frac{\frac{1}{\cos^2x}\,\,dx}{\left(\frac{a\cos x+b\sin x}{\cos x}\right)^2}=\int \frac{\frac{1}{\cos^2x}\,\,dx}{\left( a+b\tan x \right)^2}=\int \frac{ d\left(\tan x\right)}{\left( a+b\tan x \right)^2}\\
&\stackrel{\tan x=t}{=}\int \frac{ dt}{\left( a+bt\right)^2}\stackrel{ a+bt=y}{=}\int \frac{ dy}{by^2} ...
\end{align}
\[\int \frac{dx}{(a\cos x+b\sin x)^2};\]
molltiplica numeratore e denoinatore per $1/(\cos^2x)$ e ottieni:
\begin{align}
\int \frac{\frac{1}{\cos^2x}\,\,dx}{\frac{1}{\cos^2x}\cdot (a\cos x+b\sin x)^2}&=\int \frac{\frac{1}{\cos^2x}\,\,dx}{\left(\frac{a\cos x+b\sin x}{\cos x}\right)^2}=\int \frac{\frac{1}{\cos^2x}\,\,dx}{\left( a+b\tan x \right)^2}=\int \frac{ d\left(\tan x\right)}{\left( a+b\tan x \right)^2}\\
&\stackrel{\tan x=t}{=}\int \frac{ dt}{\left( a+bt\right)^2}\stackrel{ a+bt=y}{=}\int \frac{ dy}{by^2} ...
\end{align}
Grazie a entrambi, credo però che la soluzione di Cusbide83 non sia corretta in quanto fa un'assunzione sul valore dei parametri a e b. Ad ogni modo con la soluzione di Noisemaker sono arrivato in fondo e devo dire che era più semplice di quello che immaginavo, solamente ci voleva la moltiplicazione giusta.
Grazie ancora.
Grazie ancora.
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