Integrale misterioso
Stabilire la convergenza di
$int_0^(+00)((1+x^2)(arctgx - (arctgx)^2))/x^4 dx
Ora, il mistero non è tanto il risolvere il problema, ma è il metodo adottato dalla nostra insegnante che mi torna oscuro
Si parte col considerare
$int_0^1((1+x^2)(arctgx - (arctgx)^2))/x^4 dx + int_1^(+00)((1+x^2)(arctgx - (arctgx)^2))/x^4 dx
E questo è molto logico, dato che sono due gli estremi "fastidiosi"; iniziamo a lavorare sul primo cioè
$int_0^1((1+x^2)(arctgx - (arctgx)^2))/x^4 dx
E qui il primo mistero: ci viene indicata, nel calcolo del limite per $x->0$, $(1+x^2)$ come una parte "indifferente", $arctgx - (arctgx)^2$ come quella che "migliora" e $x^4$ come quella che "peggiora".
Non finisce qui: la funzione per fare il confronto asintotico viene scelta approssimando la parte che "peggiora" (a occhio? Con Taylor?) così:
$arctgx + (arctgx)^2 ~~ x+x^2$
Che approssimerebbe il suo comportamento vicino allo zero
.
Quindi, come g(x) per il confronto asintotico si prende:
$(x-x^2)/x^4 = (1-x)/x^3 ~~ 1/x^3 = g(x)$
Ora, in effetti, chiamando f(x) la nostra funzione integranda in [0,1] e considerando che g(x) diverge nel nostro intervallo di integrazione [0,1], otteniamo che $lim_(x->0)(f(x))/(g(x)) = 1$ e che quindi il nostro integrale diverge.
La domanda è: perchè questo metodo per trovare una giusta g(x)???
$int_0^(+00)((1+x^2)(arctgx - (arctgx)^2))/x^4 dx
Ora, il mistero non è tanto il risolvere il problema, ma è il metodo adottato dalla nostra insegnante che mi torna oscuro
Si parte col considerare
$int_0^1((1+x^2)(arctgx - (arctgx)^2))/x^4 dx + int_1^(+00)((1+x^2)(arctgx - (arctgx)^2))/x^4 dx
E questo è molto logico, dato che sono due gli estremi "fastidiosi"; iniziamo a lavorare sul primo cioè
$int_0^1((1+x^2)(arctgx - (arctgx)^2))/x^4 dx
E qui il primo mistero: ci viene indicata, nel calcolo del limite per $x->0$, $(1+x^2)$ come una parte "indifferente", $arctgx - (arctgx)^2$ come quella che "migliora" e $x^4$ come quella che "peggiora".
Non finisce qui: la funzione per fare il confronto asintotico viene scelta approssimando la parte che "peggiora" (a occhio? Con Taylor?) così:
$arctgx + (arctgx)^2 ~~ x+x^2$
Che approssimerebbe il suo comportamento vicino allo zero
.Quindi, come g(x) per il confronto asintotico si prende:
$(x-x^2)/x^4 = (1-x)/x^3 ~~ 1/x^3 = g(x)$
Ora, in effetti, chiamando f(x) la nostra funzione integranda in [0,1] e considerando che g(x) diverge nel nostro intervallo di integrazione [0,1], otteniamo che $lim_(x->0)(f(x))/(g(x)) = 1$ e che quindi il nostro integrale diverge.
La domanda è: perchè questo metodo per trovare una giusta g(x)???
Risposte
A parte l'attribuzione di epitteti migliorativi e peggiorativi che sono molto coreografici ma forse confondono un po', possiamo dire che attraverso una tecnica di sviluppo in serie di Taylor (o Mc Laurin) è stato trovato che la funzione integranda tende a zero come $1/x^3$. Siccome questa funzione non è integrabile tra 0 e 1 (l'area sottesa è illimitata) la stessa proprietà ce l'ha anche la funzione integranda (molto più complicata).
"mirco59":
A parte l'attribuzione di epitteti migliorativi e peggiorativi che sono molto coreografici ma forse confondono un po', possiamo dire che attraverso una tecnica di sviluppo in serie di Taylor (o Mc Laurin) è stato trovato che la funzione integranda tende a zero come $1/x^3$. Siccome questa funzione non è integrabile tra 0 e 1 (l'area sottesa è illimitata) la stessa proprietà ce l'ha anche la funzione integranda (molto più complicata).
Appunto: cosa significano gli epiteti coreografici
?
"lore":
Appunto: cosa significano gli epiteti coreografici
Questo lo dovresti chiedere all'insegnante. Provo a interpretare così:
- estremi "fastidiosi": punti negli intorni qei quali l'integrando non è limitato e quindi c'è il rischio che l'integrale diverga (ha una singolarità)
- parte "indifferente": il suo valore non è importante per l'andamento locale (non influenza la forza della singolarità)
- parte che "migliora" : tende localmente a zero e quindi riduce la forza della singolarità, migliora perchè 'aiuta' la funzione a essere integrabile
- parte che "peggiora" : tende all'infinito e quindi aumenta la forza della singolarità e rende problematico l'integrale.
Devo dire che la tua insegnante è molto teatrale... riesce a intepretare anche gli andamenti asintotici...
ciao
"mirco59":
[quote="lore"]
Appunto: cosa significano gli epiteti coreografici
Questo lo dovresti chiedere all'insegnante. Provo a interpretare così:
- estremi "fastidiosi": punti negli intorni qei quali l'integrando non è limitato e quindi c'è il rischio che l'integrale diverga (ha una singolarità)
- parte "indifferente": il suo valore non è importante per l'andamento locale (non influenza la forza della singolarità)
- parte che "migliora" : tende localmente a zero e quindi riduce la forza della singolarità, migliora perchè 'aiuta' la funzione a essere integrabile
- parte che "peggiora" : tende all'infinito e quindi aumenta la forza della singolarità e rende problematico l'integrale.
Devo dire che la tua insegnante è molto teatrale... riesce a intepretare anche gli andamenti asintotici...
ciao[/quote]
E' una donna che ci mette del sentimento
grazie per la decifrazione 
.Quindi, a questo punto per trovare la funzione per il confronto asintotico dovrei scegliere, per ogni funzione integranda, la parte che "peggiora" e approssimarla con Taylor?
"lore":
E' una donna che ci mette del sentimento
Quindi, a questo punto per trovare la funzione per il confronto asintotico dovrei scegliere, per ogni funzione integranda, la parte che "peggiora" e approssimarla con Taylor?
direi che dovresti considerare il rapporto tra quella che migliora e quella che peggiora.
Ma cosa mi fai dire?
direi che dovresti considerare il rapporto tra quella che migliora e quella che peggiora.
Ma cosa mi fai dire?
Abbi pazienza
Quindi se ho ben capito dovrei approssimare il rapporto tra... quelle due
e prenderla come g(x).. grazie.
"lore":
Abbi pazienza
Quindi se ho ben capito dovrei approssimare il rapporto tra... quelle due
Si, quello che conta (nei casi in cui si possa calcolare) è l'ordine di infinito della singolarità. Se la funzione $f(x)$ da integrare è singolare in $x_0$ l'ordine di infinito è la potenza n di $1/(x-x_0)^n$ tale che $lim_{x->x_0}f(x)/{1/(x-x_0)^n}=A$ con $A$ finito e $A \ne 0$. L'ordine di infinito è influenzato dal rapporto tra le due ...
A rigore la questione è un po' più complessa (non vorrei destare la giusta irritazione dei puri), si dovrebbe distingure limite destro da sinistro ecc. ecc. Tuttavia il principio è questo.
ciao
Grazie per l'aiuto, purtroppo nella laurea in informatica non si approfondisce tutto dell'analisi e certe cose sono un pò caserecce
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