Integrale Metodo dei Residui
Ho un problema su questo esercizietto che recita:
dopo aver determinato il valore di
su una circonferenza di centro l'origine e raggio 1, percorsa in senso antiorario (che quindi banalmente dovrebbe essere 2*pigreco*i), utilizzarlo per determinare il valore di:
Non riesco proprio a pensare a nessuna sostituzione...in aula per alcuni ex faceva la sostituzione z= exp(ix) e veniva facile facile, ma qui??
un input por favor!
ciao e grazie
dopo aver determinato il valore di
su una circonferenza di centro l'origine e raggio 1, percorsa in senso antiorario (che quindi banalmente dovrebbe essere 2*pigreco*i), utilizzarlo per determinare il valore di:Non riesco proprio a pensare a nessuna sostituzione...in aula per alcuni ex faceva la sostituzione z= exp(ix) e veniva facile facile, ma qui??
un input por favor!
ciao e grazie
Risposte
hint: Scriviti la DEFINIZIONE dell'integrale $\int_{"circonferenza"}e^{3z}/z dz$
per definizione intendi => Parametrizzare un circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine (= exp(i*teta))
e poi sostituirla all'integrale "banale"?
un secondo inputtino, perchè sto lontano dalla soluzione...
grazie
ciao
e poi sostituirla all'integrale "banale"?
un secondo inputtino, perchè sto lontano dalla soluzione...
grazie
ciao
"zoritativo":
per definizione intendi => Parametrizzare un circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine (= exp(i*teta))
ciao
ESATTO (ricordando che $exp(i\theta)=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$) - se non sbaglio scrivendo l'integrale (e sapendo quanto fa per i residui) dovrebbe venire tutto.
guarda ti giuro, sto battendo la testa al muro...potresti impostarmelo che sto diventando matto.
grazie per la pazienza..
ciao
grazie per la pazienza..
ciao
I calcoli (facendoli ...) mi sembrano piu' complicati del previsto. Comunque
$\int_Ce^{3z}/z dz=\int_0^{2\pi}e^{3e^{i\theta}}/e^{i\theta}i d\theta=i\int_0^{2\pi}e^{3e^{i\theta}-i\theta} d\theta=i\int_0^{2\pi}e^{3\cos(\theta)+i(3\sin(\theta)-1)}d\theta=$
$i\int_0^{2\pi}e^{3\cos(\theta)}(\cos(3\sin(\theta)-1)+i\sin(3\sin(\theta)-1))d\theta$
Ora usando i residui mi pare che l'integrale faccia $2\pi i$ da cui si ricaverebbe
$\int_0^{2\pi}e^{3\cos(\theta)}(\cos(3\sin(\theta)-1)d\theta=2\pi$ e $\int_0^{2\pi}e^{3\cos(\theta)}(\sin(3\sin(\theta)-1)d\theta=0$
(se non ci fosse quell'uno ....) Pero' a occhio si dovrebbe ricavare $\cos(3\sin(\theta))$ (prostaferesi ?) ...
ora purtroppo devo andare - stasera provo a finire i conti.
$\int_Ce^{3z}/z dz=\int_0^{2\pi}e^{3e^{i\theta}}/e^{i\theta}i d\theta=i\int_0^{2\pi}e^{3e^{i\theta}-i\theta} d\theta=i\int_0^{2\pi}e^{3\cos(\theta)+i(3\sin(\theta)-1)}d\theta=$
$i\int_0^{2\pi}e^{3\cos(\theta)}(\cos(3\sin(\theta)-1)+i\sin(3\sin(\theta)-1))d\theta$
Ora usando i residui mi pare che l'integrale faccia $2\pi i$ da cui si ricaverebbe
$\int_0^{2\pi}e^{3\cos(\theta)}(\cos(3\sin(\theta)-1)d\theta=2\pi$ e $\int_0^{2\pi}e^{3\cos(\theta)}(\sin(3\sin(\theta)-1)d\theta=0$
(se non ci fosse quell'uno ....) Pero' a occhio si dovrebbe ricavare $\cos(3\sin(\theta))$ (prostaferesi ?) ...
ora purtroppo devo andare - stasera provo a finire i conti.
grande!
allora quell'uno non c'è perchè ti sei scordato la derivata della parametrizzazione, che si semplifica col denominatore...
la parte del (sin(sin)) come mai viene 0??
la parte del 2pigreco è ok (=> quindi l'integrale viene pigreco, poichè era da 0->pigreco?)
"zoritativo":
:smt041
grande!
allora quell'uno non c'è perchè ti sei scordato la derivata della parametrizzazione, che si semplifica col denominatore...
AZZZ...mi pareva che doveva essere piu' semplice
"zoritativo":
la parte del (sin(sin)) come mai viene 0??
la parte del 2pigreco è ok (=> quindi l'integrale viene pigreco, poichè era da 0->pigreco?)
Vediamo un po'.
Dunque, l'integrale sulla circonfenza complessa fa $2\pi i$ per il residuo in zero e tale residuo si vede facilmente che fa uno.
Allora facendo i calcoli per bene mi pare venga
$2\pi i=i\int_0^{2\pi}e^{3\cos(\theta)}\cos(3\sin(\theta))d\theta-\int_0^{2\pi}e^{3\cos(\theta)}\sin(3\sin(\theta))d\theta$ (nel secondo int. c'e' $i^2=-1$)
Eguagliando parte reale e parte immaginaria si trova
$2\pi =\int_0^{2\pi}e^{3\cos(\theta)}\cos(3\sin(\theta))d\theta$ e
$0=\int_0^{2\pi}e^{3\cos(\theta)}\sin(3\sin(\theta))d\theta$ (che non ci interessa, ma e' vero)
A questo punto tu giustamente dici che l'integrale tra $0$ e $\pi$ e' la meta' di quello tra $0$ e $\pi$. Questo e' vero,
infatti l'integrando del orimo integrale, chiamiamolo $f(\theta)$, e' una funzione $2\pi$-periodica pari per cui
$\int_0^{2\pi}f(theta) d\theta =$ (per la periodicita') $=\int_{-\pi}^{\pi}f(theta) d\theta =$ (per la parita') $=2\int_0^{\pi}f(theta) d\theta$.
Mi pare che ci siamo. Tra l'altro il fatto che il secondo integrale e' zero si vede subito notando che il secondo integrando e' $2\pi$ periodico e dispari.
grazie sei stato fantastico!! 
ciao a presto
ps che significato ha la tua firma??
ciao a presto
ps che significato ha la tua firma??
"zoritativo":
grazie sei stato fantastico!!
ciao a presto
ps che significato ha la tua firma??
Ehi sei il primo a chiedermelo!!!
Si tratta dell'inizio di un "adventure game" (lo Hobbit) puramente testuale, che ho giocato nel 1982 nella mia stanzetta di studente su un mitico ZX spectrum
(puoi provare a calcolare la mia eta'
).[POETIC MODE ON]
Ricordo molto distintamente lo stupore provato nell' immergermi in questo "mondo virtuale" (rudimentale quanto vuoi, ma mai visto prima)
aprendo la porta verso est nella tunnel like hall verso varie avventure (tra cui lo scontro con diversi vicious goblins)
Per me (oltre ad avere un evidente valore nostalgico
) e' un po' una metafora del "viaggio fantastico" (mettendoci dentro anche la matematica e altre cose che pensavo allora,anche se non tutte realizzate poi).
[POETIC MODE OFF]
Ciao
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