Integrale metodo decomposizione. help me!
Ciao a tutti ragazzi, ho un problema con questo metodo di risoluzione:
ES. : INTEGRALE DI X+1/ X^2 - 5X + 6 DX
iL DENOMINATORE SI SCOMPONE IN DUE FATTORI (X-2)(X-3) E FINO A QUI TUTTO OK.
POI FORMULO L'UGUAGLIANZA METTENDO LE DUE INCOGNITE "A" E "B" RISPETTIVAMENTE : A/(X-2) + B/(X-3)
POI SI ESEGUE IL MINIMO COMUNE MULTIPLO, SI METTE IN EVIDENZA E SI CREA IL SISTEMA:
A+B=1
3A+2B=-1
Io non riesco a capire come mi determino i termini noti in questo caso ( 1 e -1) per poter risolvere il sistema di equazioni.
Vi sono grata per il vostro aiuto, con la speranza di capire
ES. : INTEGRALE DI X+1/ X^2 - 5X + 6 DX
iL DENOMINATORE SI SCOMPONE IN DUE FATTORI (X-2)(X-3) E FINO A QUI TUTTO OK.
POI FORMULO L'UGUAGLIANZA METTENDO LE DUE INCOGNITE "A" E "B" RISPETTIVAMENTE : A/(X-2) + B/(X-3)
POI SI ESEGUE IL MINIMO COMUNE MULTIPLO, SI METTE IN EVIDENZA E SI CREA IL SISTEMA:
A+B=1
3A+2B=-1
Io non riesco a capire come mi determino i termini noti in questo caso ( 1 e -1) per poter risolvere il sistema di equazioni.
Vi sono grata per il vostro aiuto, con la speranza di capire
Risposte
$int (x+1)/(x^2-5x+6)dx$ $=$ $int (x+1)/((x-2)(x-3))dx$
Ora, voglio scomporre $(x+1)/((x-2)(x-3))$ con il metodo di $\text{Hermite}$, il quale dice:
$R(x)=(P(x))/(Q(x))=sum_{i=1}^r A_i/((x-\alpha_i)) + d/dx(H(x))/(prod_{i=1}^r (x-\alpha_i)^(v_i -1))$
dove $\alpha_i$ sono le radici di $Q(x)$, $v_i$ è la molteplicità di $\alpha_i$, e $r = deg(R(x))$
Quindi $(x+1)/((x-2)(x-3)) = A/(x-2) + B/(x-3) = (A(x-3)+B(x-2))/((x-2)(x-3)) = (x(A+B)-3A-2B)/((x-2)(x-3))$
Eguaglio i coefficienti e ottengo in sistema: $\{(A+B=1),(-3A-2B=1):}$ $=>$ $\{(A+B=1),(3A+2B=-1):}$
Ora, voglio scomporre $(x+1)/((x-2)(x-3))$ con il metodo di $\text{Hermite}$, il quale dice:
$R(x)=(P(x))/(Q(x))=sum_{i=1}^r A_i/((x-\alpha_i)) + d/dx(H(x))/(prod_{i=1}^r (x-\alpha_i)^(v_i -1))$
dove $\alpha_i$ sono le radici di $Q(x)$, $v_i$ è la molteplicità di $\alpha_i$, e $r = deg(R(x))$
Quindi $(x+1)/((x-2)(x-3)) = A/(x-2) + B/(x-3) = (A(x-3)+B(x-2))/((x-2)(x-3)) = (x(A+B)-3A-2B)/((x-2)(x-3))$
Eguaglio i coefficienti e ottengo in sistema: $\{(A+B=1),(-3A-2B=1):}$ $=>$ $\{(A+B=1),(3A+2B=-1):}$
Salve.
Partiamo da qui:
\(\displaystyle \dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{x-3} \)
e calcoliamo il minimo comune multiplo per fare di nuovo la somma:
\(\displaystyle \dfrac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)} \)
Adesso, noi sappiamo che il numeratore è uguale a quello che avevamo prima (x+1) [perché stiamo sempre parlando della stessa frazione], quindi imponiamo l'eguaglianza A(x-3)+B(x-2) = x + 1;
Ax - 3A + Bx - 2B = x + 1
Quindi, notiamo, la somma dei coefficienti della x deve essere 1, quindi A + B = 1
E la somma degli altri termini, senza la x, deve essere ancora 1, perciò -3A - 2B = 1
Poi, si può cambiare di segno la seconda equazione per ottenere: 3A + 2B = -1
Partiamo da qui:
\(\displaystyle \dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{x-3} \)
e calcoliamo il minimo comune multiplo per fare di nuovo la somma:
\(\displaystyle \dfrac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)} \)
Adesso, noi sappiamo che il numeratore è uguale a quello che avevamo prima (x+1) [perché stiamo sempre parlando della stessa frazione], quindi imponiamo l'eguaglianza A(x-3)+B(x-2) = x + 1;
Ax - 3A + Bx - 2B = x + 1
Quindi, notiamo, la somma dei coefficienti della x deve essere 1, quindi A + B = 1
E la somma degli altri termini, senza la x, deve essere ancora 1, perciò -3A - 2B = 1
Poi, si può cambiare di segno la seconda equazione per ottenere: 3A + 2B = -1
Grazie siete stati stupendi. Grazie mille ancora.
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