Integrale lungo una curva
$ int_(gamma) bar(F) * hat(T) $
Dove $ gamma $ è l'ellisse di equazione $ x^2+y^2/4=1 $
ed $ bar(F) $ = $ x^2y hat(i)+x^2hat(j) $
Sia utilizzando la definizione di integrale curvilineo, sia utilizzando le formule di Gauss-Green.
Io ho provato (senza successo) a fare in questo modo:
-Parametrizzazione:
$ gamma(t)={ ( x(t)=cos(t) ),( y(t)=2sin(t) ):} $ con $ t in [0;2pi] $
-Derivata di $ gamma $:
$ gamma'(t)={ ( x'(t)=-sin(t) ),( y'(t)=2cos(t) ):} $ con $ t in [0;2pi] $
-Calcolo di $ hat(T) $ :
Dalla formula:
$ hat(T)=([x'(t)]/||gamma(t)||;[y'(t)]/||gamma(t)||) $
Viene fuori:
$ hat(T)=((-sin(t))/sqrt(sin^2(t)+4cos^2(t));(2cos(t))/sqrt(sin^2(t)+4cos^2(t))) $
-Calcolo di $ bar(F)(gamma(t)) $ :
$ bar(F)(gamma(t))=[2cos^2(t)sin(t)]hat(i)+[cos^2(t)]hat(j) $
-Calcolo $ bar(F)*hat(T) $ :
$ bar(F)*hat(T)=(-2cos^2(t)sin^2(t))/sqrt(sin^2(t)+4cos^2(t))+(2cos^3(t))/sqrt(sin^2(t)+4cos^2(t)) $
-Infine mi trovo a risolvere i seguenti integrali:
$ -2int_(0)^(2pi) (cos^2(t)sin^2(t))/sqrt(sin^2(t)+4cos^2(t))+2int_(0)^(2pi) (cos^3(t))/sqrt(sin^2(t)+4cos^2(t)) $
Cosa c'è di sbagliato? Accetto qualsiasi critica, suggerimento, consiglio anche a guide, studi di vario tipo per arrivare a poter risolvere un esercizio tale.
In attesa di una vostra risposta, vi ringrazio anticipatamente.
Dove $ gamma $ è l'ellisse di equazione $ x^2+y^2/4=1 $
ed $ bar(F) $ = $ x^2y hat(i)+x^2hat(j) $
Sia utilizzando la definizione di integrale curvilineo, sia utilizzando le formule di Gauss-Green.
Io ho provato (senza successo) a fare in questo modo:
-Parametrizzazione:
$ gamma(t)={ ( x(t)=cos(t) ),( y(t)=2sin(t) ):} $ con $ t in [0;2pi] $
-Derivata di $ gamma $:
$ gamma'(t)={ ( x'(t)=-sin(t) ),( y'(t)=2cos(t) ):} $ con $ t in [0;2pi] $
-Calcolo di $ hat(T) $ :
Dalla formula:
$ hat(T)=([x'(t)]/||gamma(t)||;[y'(t)]/||gamma(t)||) $
Viene fuori:
$ hat(T)=((-sin(t))/sqrt(sin^2(t)+4cos^2(t));(2cos(t))/sqrt(sin^2(t)+4cos^2(t))) $
-Calcolo di $ bar(F)(gamma(t)) $ :
$ bar(F)(gamma(t))=[2cos^2(t)sin(t)]hat(i)+[cos^2(t)]hat(j) $
-Calcolo $ bar(F)*hat(T) $ :
$ bar(F)*hat(T)=(-2cos^2(t)sin^2(t))/sqrt(sin^2(t)+4cos^2(t))+(2cos^3(t))/sqrt(sin^2(t)+4cos^2(t)) $
-Infine mi trovo a risolvere i seguenti integrali:
$ -2int_(0)^(2pi) (cos^2(t)sin^2(t))/sqrt(sin^2(t)+4cos^2(t))+2int_(0)^(2pi) (cos^3(t))/sqrt(sin^2(t)+4cos^2(t)) $
Cosa c'è di sbagliato? Accetto qualsiasi critica, suggerimento, consiglio anche a guide, studi di vario tipo per arrivare a poter risolvere un esercizio tale.
In attesa di una vostra risposta, vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Ma la richiesta è di calcolare l'integrale del prodotto scalare di $F$ e del versore tangente alla curva $\gamma$ lungo $\gamma$ oppure, semplicemente, di calcolare l'integrale curvilineo di $F$ lungo $\gamma$? Perché se, come suppongo sia, è la seconda, ti avviso che non va preso il vettore tangente normalizzato, ma va preso solo il vettore tangente, per cui l'integrale è
$\int_0^{2\pi} (2\cos^2 t\ \sint,\cos^2 t)\cdot(-\sin t,2\cos t)\ dt$...
$\int_0^{2\pi} (2\cos^2 t\ \sint,\cos^2 t)\cdot(-\sin t,2\cos t)\ dt$...
La traccia recitava:
Calcolare $ int_(gamma) bar(F) * hat(T) $
Dove $ gamma $ è l'ellisse di equazione $ x^2+y^2/4=1 $
ed $ bar(F) $ = $ x^2y hat(i)+x^2hat(j) $
Sia utilizzando la definizione di integrale curvilineo, sia utilizzando le formule di Gauss-Green.
P.S.: Dunque, se è come dici (e credo sia così) mi sono creato un film assurdo inutilmente...
Accidenti all'inesperienza!
Calcolare $ int_(gamma) bar(F) * hat(T) $
Dove $ gamma $ è l'ellisse di equazione $ x^2+y^2/4=1 $
ed $ bar(F) $ = $ x^2y hat(i)+x^2hat(j) $
Sia utilizzando la definizione di integrale curvilineo, sia utilizzando le formule di Gauss-Green.
P.S.: Dunque, se è come dici (e credo sia così) mi sono creato un film assurdo inutilmente...
Accidenti all'inesperienza!
Mmmmm, però se la traccia dice così c'è qualcosa che mi puzza con le notazioni.
"ciampax":
Mmmmm, però se la traccia dice così c'è qualcosa che mi puzza con le notazioni.
Ovvero? Non ho molta esperienza con esercizi di questo tipo.
Beh, gli integrali curvilinei sono di due tipi: prima e seconda specie. Considera una curva $\gamma$ del piano che indichiamo con $r(t)=x(t),y(t))$, $t\in[a,b]$. Indichiamo con $r'(t)$ il vettore tangente e con $||r'(t)||$ il suo modulo (o norma, come preferisci). Abbiamo le due seguenti definizioni:
1) Se $f:RR^2\rightarrow RR$ è una funzione scalare, si definisce l'integrale curvilineo di prima specie come
$\int_\gamma f\ ds=\int_a^b f(r(t))\cdot ||r'(t)||\ dt$
2) Se $F:RR^2\rightarrow RR^2$ è un campo vettoriale, indicato con $\times$ il prodotto scalare tra due vettori, l'integrale curvilineo di seconda specie è dato da
$\int_\gamma F =\int_a^b F(r(t))\times r'(t)\ dt$
Ora, considerato che tu vuoi calcolare l'integrale curvilineo di $F\times T$, dove $T$ è il versore tangente, io direi che devi applicare la prima definizione. Vediamo come: poiché si ha che $g=F\times T$ risulta una funzione scalare, e dal momento che $T={r'}/{||r'||}$ possiamo scrivere
$\int_\gamma F\times T=\int_\gamma g\ ds=\int_a^b g\cdot ||r'||\ dt=\int_a^b F(r)\times {r'}/{||r'||}\cdot ||r'||\ dt=\int_a^b F\times r'$
per cui quello che devi calcolare è, in pratica, l'integrale curvilineo di seconda specie di $F$ e cioè la cosa che dicevo nel primo intervento. Ok, così siamo a posto.
1) Se $f:RR^2\rightarrow RR$ è una funzione scalare, si definisce l'integrale curvilineo di prima specie come
$\int_\gamma f\ ds=\int_a^b f(r(t))\cdot ||r'(t)||\ dt$
2) Se $F:RR^2\rightarrow RR^2$ è un campo vettoriale, indicato con $\times$ il prodotto scalare tra due vettori, l'integrale curvilineo di seconda specie è dato da
$\int_\gamma F =\int_a^b F(r(t))\times r'(t)\ dt$
Ora, considerato che tu vuoi calcolare l'integrale curvilineo di $F\times T$, dove $T$ è il versore tangente, io direi che devi applicare la prima definizione. Vediamo come: poiché si ha che $g=F\times T$ risulta una funzione scalare, e dal momento che $T={r'}/{||r'||}$ possiamo scrivere
$\int_\gamma F\times T=\int_\gamma g\ ds=\int_a^b g\cdot ||r'||\ dt=\int_a^b F(r)\times {r'}/{||r'||}\cdot ||r'||\ dt=\int_a^b F\times r'$
per cui quello che devi calcolare è, in pratica, l'integrale curvilineo di seconda specie di $F$ e cioè la cosa che dicevo nel primo intervento. Ok, così siamo a posto.
Ok, grazie 1000 capito tutto... Domani lo risolvo, lo posto e vediamo se ci siamo... 
Il risultato che mi esce è:
$ 2int_(2pi)^(0) cos^2(t)sin^2(t)dt+2int_(0)^(2pi) cos^3(t)dt=-pi/2 $
$ 2int_(2pi)^(0) cos^2(t)sin^2(t)dt+2int_(0)^(2pi) cos^3(t)dt=-pi/2 $
$\int_0^{2\pi} [-2\cos^2 t\ \sin^2 t+\cos^3 t]\ dt$
Hai mancato un $-$
Hai mancato un $-$
Si è stato un errore di trascrizione... Il risultato è quello comunque...
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