Integrale lungo una curva
Salve devo dimostrare che
$int_{|z|=r}z^ndz={(2pii text{se n=-1}),(0 text{altrimenti}):}$
Allora vi scrivo tutti i passaggi così mi dite se sbaglio formalmente dato chè è la prima volta che svolgo l'integrale di una forma differenziale complessa, e mi aiutare su un risultato.
La curva è l'insieme $C={(x,y)in RR^2 t.c. x^2+y^2=sqrt(r)}$ noto con il nome di circonfereza
.
Una parametrizzazione della circonferenza di raggio $sqrt(r)$ è ${(x(t)=sqrt(r)cost),(y(t)=sqrt(r)sint):}$ dove $tin(0,2pi)$
derivo la parametrizzazione ottenendo ${(x'(t)=-sqrt(r)sint),(y'(t)=sqrt(r)cost):}$
ora mi ricordo che sono sul piano complesso $CC$
e mi ricordo le seguenti relazioni
$z=x+iy$ e $dz=dx+idy$
Rimane da svolgere l'integrale nei due casi:
Se $n=-1$ allora l'integrale è:
$int_{C}dz/z$$=int_{0}^{2pi}(sqrt(r)(icost-sint))/(sqrt(r)(cost+isint))dt$$=log|cost+isint|$ tale accrocco lo devo calcolare tra $0$ e $2pi$, quindi sarebbe log|1|-log|1|=log|1|=0
Ovviamente è sbagliato perchè deve venire $2pii$
Invece utilizzando lo stesso metodo per $n$ generico viene, controllatemi se ho fatto errori:
$int_{C}z^ndz$$=int_{0}^{2pi}(sqrt(r)^n(icost-sint)(sqrt(r)(cost+isint)^n)dt$$=sqrt(r)^(n+1)int_{0}^{2pi}(icost-sint)(cost+isint)^n)dt$=$sqrt(r)^(n+1)(cost+isint)^(n+1)$ che centrato negli estremi $0,2pi$ fa 0.
Mi dite dove sbaglio
$int_{|z|=r}z^ndz={(2pii text{se n=-1}),(0 text{altrimenti}):}$
Allora vi scrivo tutti i passaggi così mi dite se sbaglio formalmente dato chè è la prima volta che svolgo l'integrale di una forma differenziale complessa, e mi aiutare su un risultato.
La curva è l'insieme $C={(x,y)in RR^2 t.c. x^2+y^2=sqrt(r)}$ noto con il nome di circonfereza
.Una parametrizzazione della circonferenza di raggio $sqrt(r)$ è ${(x(t)=sqrt(r)cost),(y(t)=sqrt(r)sint):}$ dove $tin(0,2pi)$
derivo la parametrizzazione ottenendo ${(x'(t)=-sqrt(r)sint),(y'(t)=sqrt(r)cost):}$
ora mi ricordo che sono sul piano complesso $CC$
e mi ricordo le seguenti relazioni
$z=x+iy$ e $dz=dx+idy$
Rimane da svolgere l'integrale nei due casi:
Se $n=-1$ allora l'integrale è:
$int_{C}dz/z$$=int_{0}^{2pi}(sqrt(r)(icost-sint))/(sqrt(r)(cost+isint))dt$$=log|cost+isint|$ tale accrocco lo devo calcolare tra $0$ e $2pi$, quindi sarebbe log|1|-log|1|=log|1|=0
Ovviamente è sbagliato perchè deve venire $2pii$
Invece utilizzando lo stesso metodo per $n$ generico viene, controllatemi se ho fatto errori:
$int_{C}z^ndz$$=int_{0}^{2pi}(sqrt(r)^n(icost-sint)(sqrt(r)(cost+isint)^n)dt$$=sqrt(r)^(n+1)int_{0}^{2pi}(icost-sint)(cost+isint)^n)dt$=$sqrt(r)^(n+1)(cost+isint)^(n+1)$ che centrato negli estremi $0,2pi$ fa 0.
Mi dite dove sbaglio
Risposte
Non capisco perché scrivi continuamente $sqrt(r)$ dove dovresti scrivere $r$...
Comunque, è molto più semplice di quanto credi.
La crf di raggio r e centro z=0 nel piano complesso è parametrizzata da
$z(t)=re^(it)" ", t in (0,2pi)$
da cui
$dz = z'(t) dt = ire^(it) dt$
Quindi viene
$int_0^(2pi) r^n e^(i n t) i re^(it) dt = ir^(n+1) int_0^(2pi) e^(i(n+1)t) dt = ir^(n+1) * [1/(i(n+1)) e^(i(n+1)t)]_0^(2pi) = r^(n+1)/(n+1) (e^(2pi i (n+1)) - 1) = 0$
per ogni $n != -1$, in quanto $e^(2pii(n+1)) = 1$, essendo $n$ un numero intero, e $n+1 != 0$.
Invece per $n=-1$ si vede dal secondo passaggio che l'integrale fa $2pii$.
Comunque, è molto più semplice di quanto credi.
La crf di raggio r e centro z=0 nel piano complesso è parametrizzata da
$z(t)=re^(it)" ", t in (0,2pi)$
da cui
$dz = z'(t) dt = ire^(it) dt$
Quindi viene
$int_0^(2pi) r^n e^(i n t) i re^(it) dt = ir^(n+1) int_0^(2pi) e^(i(n+1)t) dt = ir^(n+1) * [1/(i(n+1)) e^(i(n+1)t)]_0^(2pi) = r^(n+1)/(n+1) (e^(2pi i (n+1)) - 1) = 0$
per ogni $n != -1$, in quanto $e^(2pii(n+1)) = 1$, essendo $n$ un numero intero, e $n+1 != 0$.
Invece per $n=-1$ si vede dal secondo passaggio che l'integrale fa $2pii$.
da panico hai scritto la meta!!Grazie
"squalllionheart":
Mi dite dove sbaglio
Sbagli a dire che l'integrale $int_0^(2pi) (icost-sint)/(cost+isint) dt$ fa 0, perché in realtà fa proprio $2pii$.
Il problema è che nel calcolare l'integrale tu hai considerato $i$ come una costante reale, invece va tenuto
conto che $i$ è proprio l'unità immaginaria, e quindi dal calcolo dell'integrale viene fuori il cosiddetto logaritmo complesso,
che in realtà non è una funzione, perché associa a un numero complesso infiniti numeri complessi... Il discorso non è banale.
Meglio procedere come ho fatto io...
quindi carissimo come avrei dovuto integrare l'accrocco?
p.s
$int_{|z|=r}|dz|/|z-a|^2$ non lo posso risolvere con l'esponeziale?? devo usare per forza la forma trigonometrica??
p.s
$int_{|z|=r}|dz|/|z-a|^2$ non lo posso risolvere con l'esponeziale?? devo usare per forza la forma trigonometrica??
"squalllionheart":
$int_{|z|=r}|dz|/|z-a|$ non lo posso risolvere con l'esponeziale?? devo usare per forza la forma trigonometrica??
Ma anche dz sta in modulo? Strano...
Comunque conviene SEMPRE usare la forma esponenziale, non quella trigonometrica!
Semplifica un sacco i calcoli.
"squalllionheart":
quindi carissimo come avrei dovuto integrare l'accrocco?
Tra l'altro neanche serve integrare l'accrocco, dato che
$icost-sint=i(cost+isint)$ e dunque semplificando rimane solamente $int_0^(2pi) i dt = 2pii$
Comunque, integrando avresti avuto il logaritmo complesso.
Senza stare a fare troppo i rigorosi, il logaritmo complesso di un numero complesso
espresso in forma trigonometrica/esponenziale $z=rhoe^(itheta)=rhoe^(i(theta+2npi))$
è $logz=logrho+i(theta+2npi)$ e ora capisci cosa intendevo quando dicevo che il logaritmo complesso non è una funzione, perché restituisce infiniti
numeri complessi essendo infiniti i valori che può assumere $n in ZZ$. Si considera però il cosiddetto "logaritmo principale", ovvero
quello con $n = 0$. Nel nostro caso abbiamo che il logaritmo principale di $cost+ isint$ è pari a $it$, che valutato tra 0 e $2pi$ è proprio $2pii$.
ma $|z-a|^2$ come lo esprimo sotto forma espneziale???
Stai integrando sull'insieme ${z in CC : |z| =r}$ o su ${z in CC : |z-a|=r}$?
su $|z|=r$
Sì ma non mi hai ancora risposto... Anche dz sta in modulo? mi pare strana la cosa...!
yes è $|dz|/|z-a|$
Ho letto la tua spiegazione sull'argomento principale.
Sei di una chiarezza disarmate, scusa per la mia miserabile esistenza. Grazie
Sei di una chiarezza disarmate, scusa per la mia miserabile esistenza. Grazie
Beh ma allora è come integrare una funzione di due variabili sulla circonferenza di raggio r...
Noto $a=x_0+iy_0$ hai che $|z-a|=|x-x_0+i(y-y_0)|=sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$, se $z=x+iy$
Allora il problema si riduce a calcolare l'integrale di $f(x,y)=1/sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$ lungo
la circonferenza di raggio $r$ centrata in (0,0)... Solo che qui la faccenda è incasinata (troppi conti)
e sinceramente non ho voglia di mettermici a quest'ora...
Noto $a=x_0+iy_0$ hai che $|z-a|=|x-x_0+i(y-y_0)|=sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$, se $z=x+iy$
Allora il problema si riduce a calcolare l'integrale di $f(x,y)=1/sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$ lungo
la circonferenza di raggio $r$ centrata in (0,0)... Solo che qui la faccenda è incasinata (troppi conti)
e sinceramente non ho voglia di mettermici a quest'ora...
wow anche a è complesso.. me la devo smettere di pensare che sia reale.... ok ora i calcoletti li faccio io povera mortale grazie mille un bacio
grazie mille un bacio
Comunque mi pare strano che il dominio di integrazione, anziché essere $|z-a|=r$, sia $|z|=r$... In che contesto sono
inseriti questi integrali? Vuoi dimostrare il Teorema di Laurent dell'analisi complessa? O il Teorema dello sviluppo in serie di Taylor? O cos'altro?
inseriti questi integrali? Vuoi dimostrare il Teorema di Laurent dell'analisi complessa? O il Teorema dello sviluppo in serie di Taylor? O cos'altro?
no acnora nulla, sono applicazioni delle forme differenziali.
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