Integrale lungo l'ellisse
L'esercizio è questo:
Quanto vale l'integrale $int (x^3ycosx+2xysinx-y^2e^z) dx + (x^2sinx-2ye^x) dy$
Lungo l'ellisse $x^2/a^2 + y^2/b^2=1$ ?
Io ho provato a mettere l'ellisse in coordinate polari,cioè
$x=a cosrho$
$y=b sinrho $
E ho fatto lo Jacobiano che mi torna $b cos^2rho + a sin^2rho$
Ma poi non so come andare avanti e non mi riesce sostituire.
Ho un esame domani e mi servirebbe il vostro aiuto
Grazie
Quanto vale l'integrale $int (x^3ycosx+2xysinx-y^2e^z) dx + (x^2sinx-2ye^x) dy$
Lungo l'ellisse $x^2/a^2 + y^2/b^2=1$ ?
Io ho provato a mettere l'ellisse in coordinate polari,cioè
$x=a cosrho$
$y=b sinrho $
E ho fatto lo Jacobiano che mi torna $b cos^2rho + a sin^2rho$
Ma poi non so come andare avanti e non mi riesce sostituire.
Ho un esame domani e mi servirebbe il vostro aiuto
Grazie
Risposte
Ciao , Lo Jacobiano è $ab\rho$
Ok, ma se sostituisco viene fuori un casino
Prova a vedere se la forma differenziale ad essa associata è esatta, in quel caso diventa tutto semplice.
Ho fatto la derivata rispetto a $y$ del primo pezzo e quella rispetto a $x$ del secondo pezzo.
Se non sbaglio, per essere esatta la forma differenziale, le due derivate devono essere uguali. Ma in questo caso sono diverse
Se non sbaglio, per essere esatta la forma differenziale, le due derivate devono essere uguali. Ma in questo caso sono diverse
Il fatto che le due derivate siano uguali implica la chiusura , per l'esattezza ci vuole qualcos'altro..
"andreangiolini":
L'esercizio è questo:
Quanto vale l'integrale $int (x^3ycosx+2xysinx-y^2e^z) dx + (x^2sinx-2ye^x) dy$
Sei sicuro di quella z ?
Come definizione di Forma differenziale esatta ho trovato che: una forma differenziale è esatta se è chiusa e se è definita su un aperto semplicemente connesso.
Quindi ho verificato la chiusura:
$d/(dy) x^3ycosx + 2xysinx - y^2e^z = x^3cosx + 2cosx - 2ye^z$
$d/(dx) x^2sinx - 2ye^x = 2xsinx + x^2 cosx - 2ye^x$
Quindi ho verificato la chiusura:
$d/(dy) x^3ycosx + 2xysinx - y^2e^z = x^3cosx + 2cosx - 2ye^z$
$d/(dx) x^2sinx - 2ye^x = 2xsinx + x^2 cosx - 2ye^x$
"MillesoliSamuele":
[quote="andreangiolini"]L'esercizio è questo:
Quanto vale l'integrale $int (x^3ycosx+2xysinx-y^2e^z) dx + (x^2sinx-2ye^x) dy$
Sei sicuro di quella z ?[/quote]
Il fatto è che ho preso l'esercizio dalla fotocaopia di un vecchio esame. Sembrerebbe una z ma a questo punto penso sia più probabile che sia una x
"andreangiolini":
Come definizione di Forma differenziale esatta ho trovato che: una forma differenziale è esatta se è chiusa e se è definita su un aperto semplicemente connesso.
Quindi ho verificato la chiusura:
$d/(dy) x^3y\cos(x) + 2xy\sin(x) - y^2e^z = x^3\cos(x) + 2\cos(x) - 2ye^z$
$d/(dx) x^2\sin(x) - 2ye^x = 2x\sin(x) + x^2 \cos(x) - 2ye^x$
La definizione è corretta ma attento.. :
$\frac{d (x^3y\cos(x) + 2xy\sin(x) - y^2e^z )}{dy}= x^3 cosx +2x\sin(x) - 2ye^z$
$\frac{d (x^2\sin(x) - 2ye^x)}{dx}=2x\sin(x)+x^2\cos(x) -2ye^x $
A questo punto dubito pure del termine $x^3 y \cos(x)$ per un $x^2 y \cos(x)$
Ah cavolo è vero 
Comunque non sono uguali lo stesso giusto ?
Comunque non sono uguali lo stesso giusto ?
"MillesoliSamuele":
A questo punto dubito pure del termine $x^3 y \cos(x)$ per un $x^2 y \cos(x)$
Anch'io
Se fossero uguali ora che devo fare?
Penso proprio che l'esercizio sia questo:
$\int_{\gamma} (x^2ycosx+2xysinx-y^2e^x) dx + (x^2sinx-2ye^x) dy$
con $\gamma$ :
$x=a\cos\psi$
$y=b\sin\psi$
con $\psi$ $\in$ $[0;2\pi]$
Visto che hai verificato la chiusura e l'esattezza ,l'integrale non dipende dal percorso ma solo dallo stato iniziale e finale , quindi...Prova a completarlo
$\int_{\gamma} (x^2ycosx+2xysinx-y^2e^x) dx + (x^2sinx-2ye^x) dy$
con $\gamma$ :
$x=a\cos\psi$
$y=b\sin\psi$
con $\psi$ $\in$ $[0;2\pi]$
Visto che hai verificato la chiusura e l'esattezza ,l'integrale non dipende dal percorso ma solo dallo stato iniziale e finale , quindi...Prova a completarlo
....vale zero ?
posta i conti ,non li ho fatti
Non ho fatto nessun conto... Pensavo magari fosse un qualche teorema
Dovrei fare l'integrale iniziale così a dritto ?
Dovrei fare l'integrale iniziale così a dritto ?
Devi calcolarti il punto iniziale e quello finale , poi parametrizzare una retta che passa per quei due punti, una volta fatto devi sostituire nell'integrale,facendo cosi :
Ad "x" la coordinata x della nuova parametrizzazione della retta , idem per "y" ,
mentre per "dx" e "dy" le derivate delle nuove x e y e calcoli l integrale da 0 a $2\pi$ in dt , con t il parametro della retta.
Ad "x" la coordinata x della nuova parametrizzazione della retta , idem per "y" ,
mentre per "dx" e "dy" le derivate delle nuove x e y e calcoli l integrale da 0 a $2\pi$ in dt , con t il parametro della retta.
Ti chiedo un'ultima cosa e poi giuro smetto.
Ma il punto iniziale e finale come te li calcoli?
Ma il punto iniziale e finale come te li calcoli?
Sostituendo prima $0$ alla parametrizzazione dell'ellisse e poi $2\pi$ sempre alla parametrizzazione
Vai grazie per la pazienza
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