Integrale lunghezza elica

[reartu93]

Salve a tutti,
ho un dubbio..vorrei sapere se è possibile calcolare la lunghezza di un'elica tramite la formula della lunghezza di una curva (integrale della derivata rispetto a x al quadrato più la derivata rispetto a y al quadrato tutto sotto radice).
Per la cicloide, ad esempio, mi è risultato più semplice..in questo caso però ho anche la componente z...qualcuno potrebbe aiutarmi?

Grazie...

[Quinzio]

Si può, devi usare una sostituzione con seno (o coseno) iperbolico.

[s.stuv]

"Quinzio":Si può, devi usare una sostituzione con seno (o coseno) iperbolico.

Parametrizzata
\[
\gamma(t) := (a \cos t, a \sin t, bt), \hspace{0.5cm} t \in [0,2\pi],
\]
direi che l'integrale di linea è immediato e la lunghezza è pari a
\[
L = 2\pi \sqrt{a^2 + b^2}.
\]

[reartu93]

Perfettamente, grazie
Un'ultima cosa, se volessi invece calcolare la curvatura? Avendo tre componenti mi ritrovo a calcolare il determinante di una matrice 2x3...è normale?

[Quinzio]

@ s.stuv: ok !

Perchè una matrice 2x3 ? Io sapevo che si trovava il versore velocità

$(bb\gamma')/(||bb\gamma'||)=((-a\sint, a\cost, b))/(\sqrt(a^2+b^2))$

Poi si deriva ancora trovando la curvatura

e si fa il modulo

$k=||((-a\cost,-a\sint,0))/(\sqrt(a^2+b^2))||=\sqrt2\ a/(\sqrt(a^2+b^2))$