Integrale logaritmo
Salve a tutti, premetto che sono un asino e sto cercando di ripassare gli integrali.
Devo fare un'integrazione in dx di $int(log(1+xy)dx)
... avrei bisogno di capire passo passo come si fa... grazie mille
Devo fare un'integrazione in dx di $int(log(1+xy)dx)
... avrei bisogno di capire passo passo come si fa... grazie mille
Risposte
Consideriamo prima l'integrale di $\log x$:
$\int \log x d x = x (\log x -1) +c$
E' una applicazione della formula di integrazione per parti
$\int f'(x) g(x) dx = f(x)g(x)- \int f(x) g'(x) dx$
dove si scrive l'argomento dell'integrale come $1 * \log x$ e si considera $f'(x) = 1$ (quindi $f(x) = x$) e $g(x) = \log x$
quindi
$\int 1 * \log x dx = x \log x - \int x * 1/x dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x -x + c$
Ma nel tuo caso l'argomento del logaritmo è la funzione affine $1 + y x$. (Nota bene: se integri rispetto ad $x$ la $y$ è da considerare come una costante).
Poiché
$\int \log [f(x)] * f'(x) dx = f(x) (\log[f(x)] -1)$
e poiché la derivata rispetto a $x$ di $f(x)= 1+ y*x$ è uguale ad $y$,
facciamo comparire, moltiplicando e dividendo, un $y$ dentro l'integrale:
$1/y \int \log(1+y x) y dx$
così abbiamo proprio $\int \log [f(x)] * f'(x) dx$ e
$1/y \int \log(1+y x) y dx = 1/y (1+yx)(\log(1+yx) -1)+c$
$\int \log x d x = x (\log x -1) +c$
E' una applicazione della formula di integrazione per parti
$\int f'(x) g(x) dx = f(x)g(x)- \int f(x) g'(x) dx$
dove si scrive l'argomento dell'integrale come $1 * \log x$ e si considera $f'(x) = 1$ (quindi $f(x) = x$) e $g(x) = \log x$
quindi
$\int 1 * \log x dx = x \log x - \int x * 1/x dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x -x + c$
Ma nel tuo caso l'argomento del logaritmo è la funzione affine $1 + y x$. (Nota bene: se integri rispetto ad $x$ la $y$ è da considerare come una costante).
Poiché
$\int \log [f(x)] * f'(x) dx = f(x) (\log[f(x)] -1)$
e poiché la derivata rispetto a $x$ di $f(x)= 1+ y*x$ è uguale ad $y$,
facciamo comparire, moltiplicando e dividendo, un $y$ dentro l'integrale:
$1/y \int \log(1+y x) y dx$
così abbiamo proprio $\int \log [f(x)] * f'(x) dx$ e
$1/y \int \log(1+y x) y dx = 1/y (1+yx)(\log(1+yx) -1)+c$
Grandioso, ho capito perfettamente sei stato gentilissimo e chiarissimo grazie! Se passo l'ultimo esame per potermi laureare ti offro da bere eheh
prosit!!!
"5InGold":
Consideriamo prima l'integrale di $\log x$:
$\int \log x d x = x (\log x -1) +c$
E' una applicazione della formula di integrazione per parti
$\int f'(x) g(x) dx = f(x)g(x)- \int f(x) g'(x) dx$
dove si scrive l'argomento dell'integrale come $1 * \log x$ e si considera $f'(x) = 1$ (quindi $f(x) = x$) e $g(x) = \log x$
quindi
$\int 1 * \log x dx = x \log x - \int x * 1/x dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x -x + c$
Ma nel tuo caso l'argomento del logaritmo è la funzione affine $1 + y x$. (Nota bene: se integri rispetto ad $x$ la $y$ è da considerare come una costante).
Poiché
$\int \log [f(x)] * f'(x) dx = f(x) (\log[f(x)] -1)$
e poiché la derivata rispetto a $x$ di $f(x)= 1+ y*x$ è uguale ad $y$,
facciamo comparire, moltiplicando e dividendo, un $y$ dentro l'integrale:
$1/y \int \log(1+y x) y dx$
così abbiamo proprio $\int \log [f(x)] * f'(x) dx$ e
$1/y \int \log(1+y x) y dx = 1/y (1+yx)(\log(1+yx) -1)+c$
Una domanda davvero stupida, ma voglio capire fino in fondo ciò che faccio: quando faccio l'analogia tra l'integrale di log x e quello di log (f(x)) praticamente su cosa si basa esattamente l'analogia? Sulla regola dell'integrazione per parti?
Semplifico ulteriormente la domanda: la seguente affermazione
$\int \log [f(x)] * f'(x) dx = f(x) (\log[f(x)] -1)$ è dimostrabile effettuando un'integrazione per parti? O c'è qualcosa che la collega all'analogo integrale di log x?
La formula da tenere in mente è questa:
$\int g[f(x)]*f'(x)dx = G[f(x)] + c$
dove $G$ è una primitiva di $g$, cioè una funzione tale che $G' = g$.
Per convincerti di questa formula, pensa a cosa succede quando applichi la regola di derivazione delle funzioni composte:
$\frac{d}{dx}G[f(x)]= G'[f(x)]*f'(x)= g[f(x)]*f'(x)$.
Nel tuo caso, la funzione $g$ è il logaritmo
$g = \log$
che ammette come primitiva
$G(x) = x(\log x -1)$.
Quando in un integrale, nella funzione integranda compare una funzione composta, guarda sempre se è moltiplicata per la derivata della funzione "interna". In casi più semplici ti è sicuramente più chiaro. Ad esempio,
$\int 5*\cos(5*x)dx$
Nella funzione integrale compare la funzione $cos$ composta con $5x$:
$x \to 5x \to \cos 5x$
La funzione composta è moltiplicata con la funzione costante $5$, la derivata di $5x$, quindi
$\int 5*\cos(5*x)dx = \sin 5x + c$
Oppure pensa al cambiamento di variabile:
poni $t = f(x)$
quindi
$dt = f'(x) dx$
e
$\int g[f(x)]*f'(x)dx = \int g(t) dt = G(t)+ c = G[f(x)] + c$
In questo caso,
$\int \log [f(x)] * f'(x) dx = f(x) (\log[f(x)] -1) + c$
è determinabile anche effettuando un'integrazione per parti
$\int \log [f(x)] * f'(x) dx = \log[f(x)] *f(x) - \int f(x) \frac{f'(x)}{f(x)}dx = f(x) * \log[f(x)] - f(x) + c$
ma reputo migliore affrontare l'integrale nei due modi proposti precedentemente
$\int g[f(x)]*f'(x)dx = G[f(x)] + c$
dove $G$ è una primitiva di $g$, cioè una funzione tale che $G' = g$.
Per convincerti di questa formula, pensa a cosa succede quando applichi la regola di derivazione delle funzioni composte:
$\frac{d}{dx}G[f(x)]= G'[f(x)]*f'(x)= g[f(x)]*f'(x)$.
Nel tuo caso, la funzione $g$ è il logaritmo
$g = \log$
che ammette come primitiva
$G(x) = x(\log x -1)$.
Quando in un integrale, nella funzione integranda compare una funzione composta, guarda sempre se è moltiplicata per la derivata della funzione "interna". In casi più semplici ti è sicuramente più chiaro. Ad esempio,
$\int 5*\cos(5*x)dx$
Nella funzione integrale compare la funzione $cos$ composta con $5x$:
$x \to 5x \to \cos 5x$
La funzione composta è moltiplicata con la funzione costante $5$, la derivata di $5x$, quindi
$\int 5*\cos(5*x)dx = \sin 5x + c$
Oppure pensa al cambiamento di variabile:
poni $t = f(x)$
quindi
$dt = f'(x) dx$
e
$\int g[f(x)]*f'(x)dx = \int g(t) dt = G(t)+ c = G[f(x)] + c$
In questo caso,
$\int \log [f(x)] * f'(x) dx = f(x) (\log[f(x)] -1) + c$
è determinabile anche effettuando un'integrazione per parti
$\int \log [f(x)] * f'(x) dx = \log[f(x)] *f(x) - \int f(x) \frac{f'(x)}{f(x)}dx = f(x) * \log[f(x)] - f(x) + c$
ma reputo migliore affrontare l'integrale nei due modi proposti precedentemente
Spiegazione assolutamente perfetta, grazie ancora adesso ho capito!
errore L'integrale del log di x è uguale a x(logx+x) e non più 1 vedi integrazioni per parti e svolgila come integrale di 1 +log x con 1 uguale a g' e log x uguale f
Non c'era bisogno di riesumare una discussione di 5 anni fa per correggere una svista su un calcolo riguardante un esercizio assolutamente standard.
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