Integrale irrazionale fratto

[irelimax]

Salve a tutti! avreste un'idea di quale sostituzione posso fare per risolvere questo particolare integrale?:

\(\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}} \)

[_prime_number]

Non mi viene in mente niente. Prova a vedere se questo può esserti utile... magari considerando $1=\sqrt{1}$.

Paola

[Palliit]

Si può fare così: [tex]...=\int \frac{\textrm{d}x}{\sqrt{\left ( x+\frac{1}{2} \right )^2+\frac{3}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\int \frac{\textrm{d}x}{\sqrt{\left [ \frac{2}{\sqrt{3}}\left ( x+\frac{1}{2} \right ) \right ]^2+1}}[/tex];

poni: [tex]\frac{2}{\sqrt{3}}\left ( x+\frac{1}{2} \right )=\sinh\psi[/tex], quindi: [tex]\frac{2}{\sqrt{3}}\textrm{d}x=\cosh\psi \textrm{d}\psi[/tex], col che l'integrale diventa:

[tex]\int \frac{cosh \psi \textrm{d}\psi}{\cosh \psi}=\int \textrm{d}\psi=\psi+C=...=\ln\left ( x+\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1} \right )+C[/tex], salvo ovviamente errori.

[irelimax]

ottima soluzione! grazie mille! c'è però un errore.

\(\displaystyle =\ln\frac{2}{\sqrt 3}+\ln\left(x+\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}\right) \)

[Palliit]

Il primo dei due logaritmi è una costante, l'ho considerato inglobato nella costante arbitraria $C$.