Integrale irrazionale fratto

[canesciolt0]

salve, in un problema di fisica ho incontrato un integrale che mi ha preso 3 ore di tempo e che comunque non sono riuscito a risolvere nemmeno con il risultato esatto davanti, ci ho provato in tutti i modi che conosco ma evidentemente c'è qualcosa che mi sfugge. l'integrale è questo :

[size=150] $ int_(-a)^(a) [(b-x)^2+c^2]^(-3/2) dx $[/size]

a,b,c sono costanti e sono numeri reali. ho impostato l'integrale sostituendo $ (b-x)=t $ e $ dx=-dt $ , poi da qui ho provato per parti, a sostituire ancora, poi le sostituzioni di Eulero, ma niente. mi date una mano?

[anto_zoolander]

prova, dopo aver effettuato

$(b-x)=t$

poni $t=ctanz$

[canesciolt0]

il risultato è [size=150]$ (x-b)/(c^2sqrt((b-x)^2+c^2) $ [/size] quindi dubito si risolva con una sostituzione del genere, inserendo funzioni goniometriche, ci hai provato per dire così?

[anto_zoolander]

Si, ci ho provato.
E mi è venuto.
Naturalmente dopo 25 minuti buoni.

[canesciolt0]

ho chiesto solo per evitare di perdere altro tempo! comunque ancora non riesco ad arrivare alla soluzione, non chiedo lo svolgimento anche perché se ci hai messo 25 minuti probabilmente ci sarebbe anche molto da scrivere, però se potresti darmi qualche altro input mi faresti un grosso piacere dato che qui non mi riesco più a muovere

[anto_zoolander]

ma certo sappi che è un po' lunghino e spero di riuscire a esprimermi al meglio.

$F(x)=int[(b-x)^2+c^2]^(-3/2)dx$

intanto pongo la sostituzione da te già effettuata $(b-x)=t$ e $dx=-dt$

$F(t)=-int(t^2+c^2)^(-3/2)dt=-int1/(t^2+c^2)^(3/2)dt$

intanto noto che se $c=0$

allora l'integrale si traduce in $-int|t|^-3dt=(sign(t))/(2t^2)+k => (sign(b-x))/(2(b-x)^2)+k$

se $b=0$ allora $xne0$
se $bne0$ allora $xneb$

se hai bisogno della dimostrazione fammi sapere. Ti anticipo che si fa per parti.

Ora invece considerando $c$ non nullo allora $t^2+c^2>0 forall tinRR$

mi piacerebbe tanto che quella somma, mi facesse tornare un prodotto.
ricordo che $D[tanz]=tan^2z+1=sec^2z$

quindi pongo $t=ctanz$
naturalmente deve essere $znepi/2+kpi$
ma notiamo che se $z->(pi/2)^+$ allora $t->+infty$ e segue $x->-infty$
di fatto è un caso limite, quindi possiamo porre $znepi/2+kpi$ tranquillamente poi lo si potrebbe studiare a parte.
analoghe considerazioni valgono per $(pi/2)^-$

possiamo quindi rendere biettiva la funzione $tanz$ in modo tale da poterla poi invertire.

$t=g(z)=ctanz, g:(-pi/2,pi/2)->RR$ a noi in particolare ci interessa che $tinRR$ cosa ampiamente soddisfatta.

quindi $t=ctanz$ e $dt=c(tan^2z+1)$ l'integrale diventa:

$-int(c*sec^2z)/(c^2tan^2z+c^2)^(3/2)dz => -int(c*sec^2z)/(c^2(tan^2z+1))^(3/2)dz => -int(c*sec^2z)/((c*secz)^2)^(3/2)dz$

e diventa $-int1/(c^2*secz)dz$

ti metto il resto sotto spoiler, guardalo solo se ne hai bisogno(se vuoi)

considera che $secz=1/cosz$

$-1/c^2intcoszdz => -1/c^2*sinz+k$

ora dobbiamo ricordare che $ctanz=t <=> z=arctan(t/c)$ ecco perché l'abbiamo resa biettiva.
sostituendo nella soluzione:

$-1/c^2*sin(arctan(t/c))+k$

$sin(arctan(x))=x/sqrt(1+x^2)$ quindi $-1/c^2*(t/c)/sqrt(1+(t/c)^2)+k$

$-(t/c)/(((c^2sqrt(c^2+t^2))/c))+k => -t/(c^2sqrt(c^2+t^2))$ infine basta ricordare $t=b-x$

$F_(c,b)(x)=(x-b)/(c^2sqrt(c^2+(b-x)^2))+k$

ora consideriamo il caso precedentemente escluso, ovvero $x->pminfty$

$lim_(x->pminfty)-(b-x)/(c^2sqrt((b-x)^2(c^2/(b-x)^2+1)))+k$

$lim_(x->pminfty)-(b-x)/(|b-x|*c^2sqrt((c^2/(b-x)^2+1)))+k$

se $x->+infty$ allora $F(x)->1/c^2+k$

se $x->-infty$ allora $F(x)->-1/c^2+k$

alla fine, non so se la cosa ti interessasse o meno, otteniamo:

$F_(c,b)(x)=(sign(b-x))/(2(b-x)^2)+k$ se $c=0$
con le condizioni: $(bne0wedgexneb) dotvee (b=0wedgexne0)$


$F_(c,b)(x)=(x-b)/(c^2sqrt(c^2+(b-x)^2))+k$ se $cne0$
con la condizione $b,x inRR$

[canesciolt0]

grazie mille!! comunque b e c sono le coordinate di un punto qualsiasi nel piano, quindi i casi particolari non erano necessari ma grazie ancora lo stesso!
è incredibile, questo integrale era nel primo esercizio del primo capitolo del libro di esercizi di fisica generale 2 mazzoldi nigro voci, lo svolgimento giustamente riportava solo il risultato ma è assurdo che facciano uscire roba così lunga e complicata

[anto_zoolander]

Il primo?
Ma che bello che deve essere