Integrale irrazionale

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11 dic 2011, 12:13

Ragazzi ho dei dubbi sulla risoluzione di questo integrale...
Lo devo risolvere riconducendo questo integrale irrazionale in uno razionale...
$ f(x,y)=f((t^2-1)/(2t),t) $
$ int_()^()1/(x+sqrt(1+x^2)) dx$ sostituisco con $ t=x+sqrt(1+x^2) $
ottenendo
$ x=(t^2-1)/(2t) $ e $ dx=(t^2+1)/(2t^2) dt $
il nuovo integrale é
$ int_()^()(1/t)*(t^2+1)/(2t^2)dt $ cioé $ int_()^() (t^2+1)/(2t^3) dt $
fin qui dovrebbe andare...
Ora provo a risolvere l'integrale in questo modo
$ int_()^() (t^2+1)/(2t^3) dt= 1/2*int_()^() (2t^2+2)/(2t^3) dt=1/2*[ int_()^() (2t^2)/(2t^3) dt + int_()^() 2/(2t^3) dt]=$
$ 1/2*[ 1/t + int_()^() 2/(2t^3) dt]=1/2*[log|t|-1/(2t^2)] $
considerando che integrale di $ int_()^() 1/(t^3) dt=-1/(2t^2) $ e $ int_()^() 1/t dt=log|t| $
avendo gia fatto una sostituzione in t ottengo
$ 1/2*[log(x+sqrt(x^2+1))-1/(2*(x+sqrt(x^2+1))^2)] $
non so se ho fatto bene però...
Grazie

Risposte

ciampax

11 dic 2011, 14:11

$\int\frac{1}{t^2}=-\frac{1}{t}$... per il resto mi pare che vada tutto bene. Per semplificare il tutto, farei il denominatore comune alla fine e razionalizzerei. (oppure stessa cosa ma in ordine inverso)

Edit: ah no, aspetta: se $x=\frac{t^2-1}{2t}$ allora $dx=\frac{2t^2-t^2+1}{2t^2}\ dt=\frac{t^2+1}{2t^2}\ dt$