Integrale irrazionale
$ \int \sqrt{x^2+x+3} dx $
salve. è un bel po che ci sbatto la testa ma non ne vengo a capo. qualcuno mi da una mano?
ho provato con la sostituzione:
$ t=x+sqrt(x^2+x+3) $
e mi esce
$ \int(t^2+t+3)^2/(2t+1)^3 dt $
poi come procedo? ho provato a sviluppare le potenze e trattarlo come un integrale razionale fratto. ma non mi trovo.
grazie mille a chiunque voglia darmi una mano
salve. è un bel po che ci sbatto la testa ma non ne vengo a capo. qualcuno mi da una mano?
ho provato con la sostituzione:
$ t=x+sqrt(x^2+x+3) $
e mi esce
$ \int(t^2+t+3)^2/(2t+1)^3 dt $
poi come procedo? ho provato a sviluppare le potenze e trattarlo come un integrale razionale fratto. ma non mi trovo.
grazie mille a chiunque voglia darmi una mano
Risposte
L'idea non è sbagliata, ma forse prima ti conviene semplificare un po' le cose. Io ad esempio osserverei innanzitutto che
$$x^2+x+3=x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+3=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{3}$$
per cui puoi porre
$$z=\sqrt{\frac{11}{3}}\left(x+\frac{1}{2}\right)$$
e ridurre l'integrale al seguente
$$\int\sqrt{z^2+1}\ dz$$
A questo punto puoi porre $t\pm z=\sqrt {z^2+1}$ e procedere come hai fatto (la funzione razionale risulta molto più semplice).
$$x^2+x+3=x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+3=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{3}$$
per cui puoi porre
$$z=\sqrt{\frac{11}{3}}\left(x+\frac{1}{2}\right)$$
e ridurre l'integrale al seguente
$$\int\sqrt{z^2+1}\ dz$$
A questo punto puoi porre $t\pm z=\sqrt {z^2+1}$ e procedere come hai fatto (la funzione razionale risulta molto più semplice).
ottimo. grazie 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo